Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sau cho 3 số trên nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển. Tính xác xuất để B mở được cửa phòng học đó. (Đề thi THPT Quốc gia 2016)

Cho hàm số $\mathrm{y} = \sin 4\mathrm{x}$

a) Chứng minh rằng $\sin 4(\mathrm{x} + \frac{\mathrm{k\pi }}{2}) = \sin 4\mathrm{x}$ với $\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Từ đó vẽ đồ thị của hàm số

$\mathrm{y} = \sin 4\mathrm{x}; \left({\mathrm{C}}_1\right)$

$\mathrm{y} = \sin 4\mathrm{x} + 1. \left({\mathrm{C}}_2\right)$

b) Xác định giá trị của m để phương trình: $\sin 4\mathrm{x} + 1 = \mathrm{m} \left(1\right)$

- Có nghiệm

- Vô nghiệm

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (${\mathrm{C}}_2$) tại điểm có hoành độ ${\mathrm{x}}_0=\frac{\mathrm{\pi }}{24}$

Giả sử A, B, C là ba góc của tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) $\frac{\sin \mathrm{C}}{\mathrm{cosAcosB}}=\tan \mathrm{A}+\tan \mathrm{B}$;

b) $\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}+\sin \mathrm{C}=4\cos \frac{\mathrm{A}}{2}\cos \frac{\mathrm{B}}{2}\cos \frac{\mathrm{C}}{2}$;

c) $\frac{\sin \mathrm{A}+ \sin \mathrm{B}+ \sin \mathrm{C}}{\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}-\sin \mathrm{C}}=\cot \frac{\mathrm{A}}{2}\cot \frac{\mathrm{B}}{2}.$

Cho hàm số

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2\sin \frac{1}{\mathrm{x}},\mathrm{nêu} \mathrm{x}\ne 0 \\ \mathrm{A} , \mathrm{nêu} \mathrm{x}=0\end{array}\right.$

Xác định A để f(x) liên tục tại x = 0. Với giá trị A tìm được, hàm số có đạo hàm tại x = 0 không?

Tính các giới hạn

a) $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{\lim }\frac{\mathrm{sinx}-\mathrm{sina}}{\mathrm{x}-\mathrm{a}}$;

b) $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }(1-\mathrm{x})\tan \frac{\mathrm{\pi x}}{2}$;

c) $\underset{\mathrm{x}\to \frac{\mathrm{\pi }}{3}}{\lim }\frac{2{\sin }^2\mathrm{x}-\mathrm{sinx}-1}{2{\sin }^2\mathrm{x}-3\mathrm{sinx}+1}$;

d) $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tanx}-\mathrm{sinx}}{{\sin }^3\mathrm{x}}$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

$\mathrm{y} = {\sin }^2\mathrm{x} + 4\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx} - 3{\cos }^2\mathrm{x} + 1$

Xét tính bị chặn của các dãy số với số hạng tổng quát sau:

a) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=\frac{5{\mathrm{n}}^2}{{\mathrm{n}}^2+3}$;

b) ${\mathrm{y}}_{\mathrm{n}}={(-1)}^{\mathrm{n}}\frac{2\mathrm{n}}{\mathrm{n}+1}\sin \mathrm{n}$;

${\mathrm{z}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{ncosn\pi }$ .

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $\mathrm{y}=\frac{1+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}{1-\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2}$;

b) $\mathrm{y}=\frac{(2-{\mathrm{x}}^2)(3-{\mathrm{x}}^3)}{{(1-\mathrm{x})}^2}$;

c) $\mathrm{y}=\cos 2\mathrm{x}-2\mathrm{sinx}$;

d) $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{cosx}}{2{\sin }^2\mathrm{x}}$;

e) $\mathrm{y}={\cos }^2\frac{\mathrm{x}}{3}\tan \frac{\mathrm{x}}{2}$;

f) $\mathrm{y}=\sqrt{\sin \sqrt{\left(2\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)}}$;

g) $\mathrm{y}=\cos \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+1}$;

h) $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{\sin 3\mathrm{x}}$;

i) $\mathrm{y}=3{\sin }^2\mathrm{x}.\mathrm{cosx}+{\cos }^2\mathrm{x}$;

k) $\mathrm{y}=\sqrt{7-4\mathrm{x}}.\cot 3\mathrm{x}$.

Tính các giới hạn sau

a) $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{4x^5+9x+7}{3x^6+x^3+1}$;               b) $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}-2}{{\mathrm{x}}^3-\mathrm{x}-6}$;

c) $\underset{\mathrm{x}\to -1}{\lim }\frac{\mathrm{x}+1}{\sqrt{6{\mathrm{x}}^2+3}+3\mathrm{x}}$;          d) $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{9+5\mathrm{x}+4{\mathrm{x}}^2}-3}{\mathrm{x}}$;

e) $\underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{10-\mathrm{x}}-2}{\mathrm{x}-2}$;                f) $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{\mathrm{x}+8}-\sqrt{8\mathrm{x}+1}}{\sqrt{5-\mathrm{x}}-\sqrt{7\mathrm{x}-3}}$.

Chứng minh các hệ thức sau:

a) $\mathrm{sina}+ \sin \left(\mathrm{a}+\frac{14}{3}\mathrm{\pi }\right)+\sin \left(\mathrm{a}-\frac{8}{3}\mathrm{\pi }\right)=0$;

b) $\frac{\sin 4\mathrm{a}}{1+\cos 4\mathrm{a}}.\frac{\cos 2\mathrm{a}}{1+\cos 2\mathrm{a}}=\cot \left(\frac{3}{2}\mathrm{\pi }-\mathrm{a}\right)$;

c) ${\sin }^2(45°+\mathrm{\alpha })-{\sin }^2(30°-\mathrm{\alpha })-\sin 15°\cos (15°+2\mathrm{\alpha })=\sin 2\mathrm{\alpha }$;

d) ${\left(\mathrm{cosa}-\mathrm{cosb}\right)}^2-{(\mathrm{sina}-\mathrm{sinb})}^2=-4{\sin }^2\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{2}\cos (\mathrm{a}+\mathrm{b})$;

Biến đổi thành tích

$\mathrm{a}) 1+\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+3\mathrm{\alpha }\right)-\sin \left(\frac{3}{2}\mathrm{\pi }-3\mathrm{\alpha }\right)+\cot \left(\frac{5}{2}\mathrm{\pi }+3\mathrm{\alpha }\right)$;

b) $\frac{\cos 7\mathrm{\alpha }-\cos 8\mathrm{\alpha }-\cos 9\mathrm{\alpha }+\cos 10\mathrm{\alpha }}{\sin 7\mathrm{\alpha }-\sin 8\mathrm{\alpha }-\sin 9\mathrm{\alpha }+\sin 10\mathrm{\alpha }}$;

c) $-\cos 5\mathrm{acos}4\mathrm{a}-\cos 4\mathrm{a} \cos 3\mathrm{a}+2{\cos }^{2}2\mathrm{a} \mathrm{cosa}$.

Tìm cấp số cộng ${\mathrm{a}}_1, {\mathrm{a}}_2, {\mathrm{a}}_3, {\mathrm{a}}_4, {\mathrm{a}}_5$, biết rằng

${\mathrm{a}}_1 + {\mathrm{a}}_{3 }+ {\mathrm{a}}_5 = -12$ và ${\mathrm{a}}_1{\mathrm{a}}_3{\mathrm{a}}_{5 }= 80$

Hãy tính giới hạn $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}$ :

a) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=\frac{\sqrt{\mathrm{n}}}{\sqrt{\mathrm{n}+1}+\sqrt{\mathrm{n}}}$;

b) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=\sqrt[3]{1+{\mathrm{n}}^3}-\mathrm{n}$;

c) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}={\mathrm{n}}^2(\mathrm{n}-\sqrt{{\mathrm{n}}^2+1})$;

d) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^2-{\mathrm{n}}^3}+\mathrm{n}$.

Giải các phương trình

a) $\sin 2\mathrm{x}={\cos }^4\frac{\mathrm{x}}{4}-{\sin }^4\frac{\mathrm{x}}{2}$;

b) $3\sin 5\mathrm{x}-2\cos 5\mathrm{x}=3$;

c) $\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+5\mathrm{x}\right)+\sin \mathrm{x}=2\cos 3\mathrm{x};$

d) $\sin 2z+\cos 2z=\sqrt{2}\sin 3z$.

Giải các phương trình

a) ${\cos }^2\mathrm{x}+{\cos }^{2}2\mathrm{x}-{\cos }^{2}3\mathrm{x}-{\cos }^{2}4\mathrm{x}=0$;

b) $\cos 4\mathrm{x} \cos (\mathrm{\pi }+2\mathrm{x})-\sin 2\mathrm{x} \cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-4\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 4\mathrm{x};$

c) $\tan (120°+3\mathrm{x})-\tan (140°-\mathrm{x})=2\sin (80°+2\mathrm{x});$

d) ${\tan }^2\frac{\mathrm{x}}{2}+{\sin }^2\frac{\mathrm{x}}{2}\tan \frac{\mathrm{x}}{2}+{\cos }^2\frac{\mathrm{x}}{2}.\cot \frac{\mathrm{x}}{2}+{\cot }^2\frac{\mathrm{x}}{2}+\mathrm{sinx}=4$;

e) $\frac{\sin 2\mathrm{t}+2{\cos }^2\mathrm{t}-1}{\mathrm{cost}-\cos 3\mathrm{t}+\sin 3\mathrm{t}-\mathrm{sint}}=\mathrm{cost}.$

Tinh giới hạn của hàm số $\mathrm{x} \to \infty$

a) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=\frac{\sqrt{{\mathrm{n}}^2+1}+\sqrt{\mathrm{n}}}{\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+\mathrm{n}}-\mathrm{n}}$;

b) ${\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}=\left(\mathrm{n}-\frac{1}{\mathrm{n}}\right)\left(\frac{1-4\mathrm{n}}{2{\mathrm{n}}^2}\right)$.