Trong mặt phẳng Oxy xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x;y) thành M′(2x − 1; −2y + 3). Chứng minh F là một phép đồng dạng.

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình $3\mathrm{x} - 2\mathrm{y} – 6 = 0$

a) Viết phương trình của đường thẳng ${\mathrm{d}}_1$ là ảnh của d qua phép đối xứng qua trục Oy

b) Viết phương trình của đường thẳng ${\mathrm{d}}_2$ là ảnh của d qua phép đối xứng qua đường thẳng Δ có phương trình

$\mathrm{x} + \mathrm{y} – 2 = 0$.

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình $\mathrm{x} + \mathrm{y} – 2 = 0$. Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc $45°$.

Cho đường tròn (C) và hai điểm cố định phân biệt A, B thuộc (C). Với mỗi điểm M chạy trên đường tròn (trừ hai điểm A, B), ta xét điểm N sao cho ABMN là hình bình hành. Chứng minh rằng tập hợp các điểm N cũng nằm trên một đường tròn xác định.

Cho tam giác ABC. Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh AC sao cho MN song song với BC và AM = CN.

Gọi A’, B’ và C’ tương ứng là ảnh của ba điểm A, B và C qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng nếu 

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{p}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ thì $\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}=\mathrm{p}\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}$, trong đó p là một số. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B' nằm giữa hai điểm A’ và C’.

Cho hai đường tròn có cùng tâm O, bán kính lần lượt là R và r,(R > r). A là một điểm thuộc đường tròn bán kính r. Hãy dựng đường thẳng qua A cắt đường tròn bán kính r tại B, cắt đường tròn bán kính R tại C, D sao cho CD = 3AB.

Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời góc giữa a và b bằng $60°$. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là một hình thang cân.

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình $3\mathrm{x} - 5\mathrm{y} + 3 = 0$ và vectơ $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ = (2;3). Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{\mathrm{v}}$.

Dựng tam giác BAC vuông cân tại A có C là một điểm cho trước, còn hai đỉnh A, B lần lượt thuộc hai đường thẳng a, b song song với nhau cho trước.

Cho hình bình hành ABCD có ABcố định, đường chéo ACcó độ dài bằng m không đổi. Chứng minh rằng khi C thay đổi, tập hợp các điểm D thuộc một đường tròn cố định.

Gọi A', B', C' tương ứng là ảnh của ba điểm A, B, C qua phép đồng dạng tỉ số k. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}.\overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}={\mathrm{k}}^2\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.