Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi H là chân đường cao của hình chóp. Một mặt phẳng (P) thay đổi cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại E, F, I, J. Gọi K = EI ∩ FJ. Đặt SE = a, SF = b, SI = c, SJ = d, SK = k, $\widehat{\mathrm{ASH}}$ = α.

a) Tìm diện tích của tam giác SEI theo a, c, α

b) Chứng minh rằng 

$\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{b}}=\frac{2\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{k}}$

Suy ra $\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{c}}=\frac{1}{\mathrm{b}}+\frac{1}{\mathrm{d}}$ 

Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC).

a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng  $\frac{1}{{\mathrm{SH}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{SA}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{SB}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{SC}}^2}$

c) Chứng minh rằng ${\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{SBC}}\right)}^2 = \left({\mathrm{S}}_{\mathrm{HBC}}\right). \left({\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}\right)$ và

${\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}\right)}^2 = {\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{SAB}}\right)}^2 + {\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{SBC}}\right)}^2 + {\left({\mathrm{S}}_{\mathrm{SCA}}\right)}^2$

d) Chứng minh rằng

${\mathrm{SG}}^2 =\frac{{\mathrm{SA}}^2 + {\mathrm{SB}}^2 + {\mathrm{SC}}^2}{9}$ (G là trọng tâm của tam giác ABC) và

${(\mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CA})}^2 \le 6({\mathrm{SA}}^2 + {\mathrm{SB}}^2 + {\mathrm{SC}}^2)$.

e) Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn và

${\mathrm{SA}}^2\mathrm{tanA} = {\mathrm{SB}}^2\mathrm{tanB} = {\mathrm{SC}}^2\mathrm{tanC} = 2{\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SC tạo với (SAD) góc $30°$. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên đáy ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABD. Mặt bên (SAB) tạo với đáy góc $60°$. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N. Biết góc tạo bởi (SBC) và (ABC) là $60°$. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh rẳng MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA' = $\mathrm{a}\sqrt{2}$. Gọi M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.

Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi, AB = $\mathrm{a}\sqrt{3}$, $\widehat{\mathrm{BAD}}=120°$. Góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ADD'A') là $30°$. Gọi M là trung điểm A'D', N là trung điểm BB'. Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (C'MA)

Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB = 2a, BC = CD = DA = a. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A. Gọi S là một điểm duy nhất thay đổi trên d. (P) là một mặt phẳng qua A vuông góc với SB tại I và cắt SC, SD lần lượt tại J, K.

a) Chứng minh tứ giác BCJI, AIJK là các tứ giác nội tiếp.

b) Gọi O là trung điểm của AB, O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCJI. Chứng minh rằng OO' ⊥ (SBC).

c) Chứng minh rằng khi S thay đổi trên d thì JK luôn luôn đi qua một điểm cố định.

d) Tìm một điểm cách đều các điểm A, B, C, D, I, J, K và tìm khoảng cách đó.

e) Gọi M là giao điểm của JK và (ABCD). Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

f) Khi S thay đổi trên d, các điểm I, J, K lần lượt chạy trên đường nào.