Câu hỏi:

22/07/2024 208

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + a b + b c + a c = 6$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $P = \frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a}$ .

Có a, b, c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:

$\{\begin{cases} \frac{a^{3}}{b} + a b \geq 2 a^{2} \\ \frac{b^{3}}{c} + b c \geq 2 b^{2} \\ \frac{c^{3}}{a} + a c \geq 2 c^{2} \end{cases}$ .

$\Rightarrow P = \frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - (a b + b c + a c)$ , mà $a + b + c + a b + b c + a c = 6$ .

$\Rightarrow P \geq 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + (a + b + c) - 6$ .

Có ${(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(a - c)}^{2} \geq 0$ $\Rightarrow 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + b c + c a)$ $\Rightarrow 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq {(a + b + c)}^{2}$ .

Suy ra $P \geq \frac{2}{3} {(a + b + c)}^{2} + (a + b + c) - 6$ .

Có $a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$ $\Rightarrow 3 (a b + b c + a c) \leq {(a + b + c)}^{2}$ .

Do đó $6 = a + b + c + a b + b c + a c \leq a + b + c + \frac{1}{3} {(a + b + c)}^{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{3} {(a + b + c)}^{2} + (a + b + c) - 6 \geq 0$ . $\Rightarrow (a + b + c) \geq 3$ , ${(a + b + c)}^{2} \geq 9$ .

Suy ra $P \geq \frac{2}{3} .9 + 3 - 6 = 3$ . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Vậy $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$ .

Câu trả lời này có hữu ích không?

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Xem đáp án » 03/10/2022 402

Câu 2:

Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x³ + y³ + z³ – 3xyz = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{2} {(x + y + z)}^{2} + 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)$

Xem đáp án » 03/10/2022 363

Câu 3:

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 277

Câu 4:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b + 3ab = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{12 a b}{a + b} - a^{2} - b^{2}$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 274

Câu 5:

Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1

Chứng minh $\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} \leq 1$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 270

Câu 6:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 03/10/2022 256

Câu 7:

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$A = \frac{a b}{a + 3 b + 2 c} + \frac{b c}{b + 3 c + 2 a} + \frac{c a}{c + 3 a + 2 b} \cdot$

Xem đáp án » 03/10/2022 220

Câu 8:

Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

$a + 2 b + c \geq 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c)$

Xem đáp án » 03/10/2022 213

Câu 9:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{1}{4} (a + b + c)$

Xem đáp án » 03/10/2022 196

Câu 10:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z \geq 2019$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{x^{2}}{x + \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{y + \sqrt{z x}} + \frac{z^{2}}{z + \sqrt{x y}}$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 196

Câu 11:

Với $x \neq 0$ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \frac{x^{2} - 3 x + 2019}{x^{2}}$

Xem đáp án » 03/10/2022 191

Câu 12:

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Xem đáp án » 03/10/2022 189

Câu 13:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: $a + b + 3 a b = 1$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{6 a b}{a + b} - a^{2} - b^{2}$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 189

Câu 14:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y}$

Xem đáp án » 03/10/2022 183

Câu 15:

Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 \cdot$

Xem đáp án » 03/10/2022 162

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 9398 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Căn bậc hai có đáp án

5 đề 8139 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 7090 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 6431 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Tỉ số lượng giác của góc nhọn có đáp án

5 đề 3857 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Căn bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai A^2 = |A| có đáp án

5 đề 3776 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 có đáp án

5 đề 3450 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 9: Bài toán thực tế Hình học có đáp án

18 đề 3342 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Hàm số bậc nhất lớp 9 có đáp án

5 đề 3097 lượt thi Thi thử
Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất)

10 đề 3095 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+ab+bc+ac=6. Chứng minh rằng: a3b+b3c+c3a≥3

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng: aba4+b4+ab+bcb4+c4+bc+cac4+a4+ca≤1

Câu 2:

Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x3 + y3 + z3 – 3xyz = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=12(x+y+z)2+4(x2+y2+z2−xy−yz−zx)

Câu 3:

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2+b2=2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=a3+b3+4ab+1.

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + a b + b c + a c = 6$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x³ + y³ + z³ – 3xyz = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{2} {(x + y + z)}^{2} + 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)$

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$ .