Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: aba+b+2c+bcb+c+2a+cac+a+2b≤14(a+b+c)

Ta chứng minh bất đẳng thức 1x+y≤141x+1y với x, y > 0. Thậy vậy, với x, y > 0 thì: 1x+y≤141x+1y⇔1x+y≤x+y4xy⇔(x+y)2≥4xy⇔x2+2xy+y2−4xy≥0 ⇔x2−2xy+y2≥0⇔(x−y)2≥0 (luôn đúng) Do đó: 1x+y≤141x+1y với x, y > 0. Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: 1a+b+2c=1(a+c)+(b+c)≤14(1a+c+1b+c)⇒aba+b+2c≤ab41a+c+1b+c Tương tự ta có: bcb+c+2a≤bc41b+a+1c+acac+a+2b≤ca41c+b+1a+b Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được: aba+b+2c+bcb+c+2a+cac+a+2b≤ab41a+c+1b+c+bc41b+a+1c+a+ca41c+b+1a+b =14aba+c+abb+c+bcb+a+bcc+a+cac+b+caa+b=14ab+bca+c+ab+cac+b+bc+cab+a=14b(a+c)a+c+a(b+c)c+b+c(b+a)b+a=14(a+b+c) Do đó VT≤14VP (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Câu hỏi:

18/07/2024 205

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{1}{4} (a + b + c)$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ với x, y > 0.

Thậy vậy, với x, y > 0 thì:

$\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \Leftrightarrow \frac{1}{x + y} \leq \frac{x + y}{4 x y} \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} \geq 4 x y \Leftrightarrow x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y \geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0 \Leftrightarrow {(x - y)}^{2} \geq 0$ (luôn đúng)

Do đó: $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ với x, y > 0.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

$\frac{1}{a + b + 2 c} = \frac{1}{(a + c) + (b + c)} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}) \Rightarrow \frac{a b}{a + b + 2 c} \leq \frac{a b}{4} (\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c})$

Tương tự ta có: $\{\begin{cases} \frac{b c}{b + c + 2 a} \leq \frac{b c}{4} (\frac{1}{b + a} + \frac{1}{c + a}) \\ \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{c a}{4} (\frac{1}{c + b} + \frac{1}{a + b}) \end{cases}$

Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{a b}{4} (\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}) + \frac{b c}{4} (\frac{1}{b + a} + \frac{1}{c + a}) + \frac{c a}{4} (\frac{1}{c + b} + \frac{1}{a + b})$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{4} [\frac{a b}{a + c} + \frac{a b}{b + c} + \frac{b c}{b + a} + \frac{b c}{c + a} + \frac{c a}{c + b} + \frac{c a}{a + b}] \\ = \frac{1}{4} [\frac{a b + b c}{a + c} + \frac{a b + c a}{c + b} + \frac{b c + c a}{b + a}] = \frac{1}{4} [\frac{b (a + c)}{a + c} + \frac{a (b + c)}{c + b} + \frac{c (b + a)}{b + a}] = \frac{1}{4} (a + b + c) \end{array}$

Do đó $V T \leq \frac{1}{4} V P$ (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Câu trả lời này có hữu ích không?

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Xem đáp án » 03/10/2022 408

Câu 2:

Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x³ + y³ + z³ – 3xyz = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{2} {(x + y + z)}^{2} + 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)$

Xem đáp án » 03/10/2022 369

Câu 3:

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 284

Câu 4:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b + 3ab = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{12 a b}{a + b} - a^{2} - b^{2}$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 284

Câu 5:

Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1

Chứng minh $\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} \leq 1$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 280

Câu 6:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 03/10/2022 262

Câu 7:

Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$A = \frac{a b}{a + 3 b + 2 c} + \frac{b c}{b + 3 c + 2 a} + \frac{c a}{c + 3 a + 2 b} \cdot$

Xem đáp án » 03/10/2022 226

Câu 8:

Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

$a + 2 b + c \geq 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c)$

Xem đáp án » 03/10/2022 222

Câu 9:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + a b + b c + a c = 6$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$

Xem đáp án » 03/10/2022 214

Câu 10:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z \geq 2019$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{x^{2}}{x + \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{y + \sqrt{z x}} + \frac{z^{2}}{z + \sqrt{x y}}$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 204

Câu 11:

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Xem đáp án » 03/10/2022 197

Câu 12:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: $a + b + 3 a b = 1$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{6 a b}{a + b} - a^{2} - b^{2}$ .

Xem đáp án » 03/10/2022 197

Câu 13:

Với $x \neq 0$ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \frac{x^{2} - 3 x + 2019}{x^{2}}$

Xem đáp án » 03/10/2022 197

Câu 14:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y}$

Xem đáp án » 03/10/2022 190

Câu 15:

Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 \cdot$

Xem đáp án » 03/10/2022 170

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 9583 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Căn bậc hai có đáp án

5 đề 8282 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 7353 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 6732 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Tỉ số lượng giác của góc nhọn có đáp án

5 đề 3921 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Căn bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai A^2 = |A| có đáp án

5 đề 3858 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 có đáp án

5 đề 3535 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 9: Bài toán thực tế Hình học có đáp án

18 đề 3489 lượt thi Thi thử
Đề thi Giữa kì 1 Toán lớp 9 có đáp án

6 đề 3198 lượt thi Thi thử
Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất)

10 đề 3192 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: aba+b+2c+bcb+c+2a+cac+a+2b≤14(a+b+c)

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng: aba4+b4+ab+bcb4+c4+bc+cac4+a4+ca≤1

Câu 2:

Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x3 + y3 + z3 – 3xyz = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=12(x+y+z)2+4(x2+y2+z2−xy−yz−zx)

Câu 3:

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2+b2=2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=a3+b3+4ab+1.

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{1}{4} (a + b + c)$

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x³ + y³ + z³ – 3xyz = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{2} {(x + y + z)}^{2} + 4 (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x)$

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn $a^{2} + b^{2} = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{a^{3} + b^{3} + 4}{a b + 1}$ .