Cho a+b+c2=a2+b2+c2 và a,b,c là 3 số khác 0. Chứng minh:1a3+1b3+1c3=3abc.

Phương pháp Áp dụng hằng đẳng thức a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+ac+bc và a+b3=a3+b3+3aba2+b2 Cách giải: Ta có:a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+ac+bc Mà theo đề bài a+b+c2=a2+b2+c2 Suy ra 2ab+ac+bc=0⇔ab+ac+bc=0 ⇔ab+ac=−bc ⇔ab+ac3=−b3c3 ⇔a3b3+a3c3+3a2bcab+ac=−b3c3 ⇔a3b3+a3c3+b3c3=−3a2bc.−bc ⇔a3b3+a3c3+b3c3=3a2b2c2 Mà a,b,c≠0 nên ta có a3b3+a3c3+b3c3=3a2b2c2 ⇔a3b3+a3c3+b3c3a3b3c3=3a2b2c2a3b3c3 ⇔1a3+1b3+1c3=3abcdpcm

Câu hỏi:

19/07/2024 172

Cho ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ và $a, b, c$ là 3 số khác 0.

Chứng minh: $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{3}{a b c} .$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp

Áp dụng hằng đẳng thức ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + a c + b c)$

và ${(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a^{2} + b^{2})$

Cách giải:

Ta có: ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + a c + b c)$

Mà theo đề bài ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Suy ra $2 (a b + a c + b c) = 0 \Leftrightarrow a b + a c + b c = 0$

$\Leftrightarrow a b + a c = - b c$

$\Leftrightarrow {(a b + a c)}^{3} = - b^{3} c^{3}$

$\Leftrightarrow a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + 3 a^{2} b c (a b + a c) = - b^{3} c^{3}$

$\Leftrightarrow a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + b^{3} c^{3} = - 3 a^{2} b c . (- b c)$

$\Leftrightarrow a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + b^{3} c^{3} = 3 a^{2} b^{2} c^{2}$

Mà $a, b, c \neq 0$ nên ta có

$a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + b^{3} c^{3} = 3 a^{2} b^{2} c^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + b^{3} c^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{3 a^{2} b^{2} c^{2}}{a^{3} b^{3} c^{3}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{3}{a b c} (d p c m)$

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Hai đường chéo cùng hình vuông có tính chất:

Xem đáp án » 10/10/2022 288

Câu 2:

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình nào sau đây?

Xem đáp án » 10/10/2022 237

Câu 3:

Tìm $x$ biết:

$(2 x - 1) (x - 5) - 2 x^{2} + 10 x - 25 = 0$

Xem đáp án » 10/10/2022 214

Câu 4:

${(x - y)}^{2}$ bằng:

Xem đáp án » 10/10/2022 190

Câu 5:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Hình bình hành $A B C D$ có thêm điều kiện gì thì tứ giác $M E N F$ là hình vuông. Khi đó tính diện tích của tứ giác $M E N F$ biết $B C = 3 c m .$

Xem đáp án » 10/10/2022 187

Câu 6:

Phân thức $\frac{x - 3}{x (x - 2)}$ xác định với giá trị:

Xem đáp án » 10/10/2022 183

Câu 7:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Hình bình hành $A B C D$ có thêm điều kiện gì thì tứ giác $M E N F$ là hình vuông. Khi đó tính diện tích của tứ giác $M E N F$ biết $B C = 3 c m .$

Xem đáp án » 10/10/2022 177

Câu 8:

Phân thức các đa thức sau thành nhân tử.

$5 x y^{2} - 10 x y z + 5 x z^{2}$

Xem đáp án » 10/10/2022 165

Câu 9:

Giá trị của biểu thức $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ tại $x = - 2$

Xem đáp án » 10/10/2022 163

Câu 10:

Một hình thang có độ dài hai đáy là $6 c m$ và $10 c m$ . Độ dài đường trung bình của hình thang đó là:

Xem đáp án » 10/10/2022 160

Câu 11:

Cho biểu thức $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}} (x \neq \pm 2)$

Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 4.$

Xem đáp án » 10/10/2022 159

Câu 12:

Cho biểu thức $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}} (x \neq \pm 2)$

Rút gọn biểu thức $A .$

Xem đáp án » 10/10/2022 155

Câu 13:

Một hình chữ nhật có kích thước là $7 d m$ và $2 d m$ thì có diện tích là:

Xem đáp án » 10/10/2022 154

Câu 14:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Chứng minh tứ giác $A E F D$ là hình thoi.

Xem đáp án » 10/10/2022 154

Câu 15:

Tìm $x$ biết:

$x (x - 3) - x + 3 = 0$

Xem đáp án » 10/10/2022 153

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Đề kiểm tra cuối kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)

26 đề 11518 lượt thi Thi thử
Bài tập cuối tuần Học kì 1 Toán 8 có đáp án

20 đề 6410 lượt thi Thi thử
Bài tập cuối tuần Học kì 2 Toán 8 có đáp án

17 đề 5879 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 8 Nhân đơn thức với đa thức có đáp án

5 đề 5230 lượt thi Thi thử
Top 10 Đề kiểm tra Giữa kì 1 Toán 8 (có đáp án)

10 đề 4849 lượt thi Thi thử
Đề thi Giữa kì 1 Toán 8 có đáp án

10 đề 4299 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ - Phần 1 có đáp án

5 đề 3913 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)

15 đề 3906 lượt thi Thi thử
Đề thi Giữa học kì 2 Toán 8 chọn lọc, có đáp án

11 đề 3760 lượt thi Thi thử
Top 10 Đề thi Toán 8 Giữa học kì 2 có đáp án, cực sát đề chính thức

11 đề 3442 lượt thi Thi thử