Một chiếc khăn trải bàn có dạng hình chữ nhật ABCD được thêu một hoạ tiết có dạng hình thoi MNPQ ở giữa với MP = x (cm), NQ = y (cm) (x > y > 0) như Hình 5.

Viết đa thức biểu thị diện tích phần còn lại của chiếc khăn trải bàn đó.

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) \(3{x^2} - \sqrt 3 x + \frac{1}{4}\);

b) x² – x – y² + y;

c) x³ + 2x² + x – 16xy².

Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) A = 16x² ‒ 8xy + y² ‒ 21 biết 4x = y + 1;

b) B = 25x² + 60xy + 36y² + 22 biết 6y = 2 ‒ 5x;

c) C = 27x³ – 27x²y + 9xy² – y³ – 121 biết 3x = 7 + y.

Thực hiện phép tính:

a) \(7{x^2}{y^5} - \frac{7}{3}{y^2}\left( {3{x^2}{y^3} + 1} \right)\);

b) \(\frac{1}{2}x\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - \frac{3}{2}{y^2}\left( {x + 1} \right) - \frac{1}{{\sqrt 4 }}{x^3}\);

c) (x + y)(x2 + y2 + 3xy) ‒ x3 ‒ y3;

d) (‒132xn + 1y10zn + 2 + 143xn + 2y12zn) : (11xny9zn) với n là số tự nhiên.

Cho hai đa thức: M = 23x²³y ‒ 22xy²³ + 21y ‒ 1 và N = ‒22xy³ ‒ 42y ‒ 1.

a) Tính giá trị của mỗi đa thức M, N tại x = 0; y = –2.

b) Tính M + N; M – N.

c) Tìm đa thức P sao cho M – N – P = 63y + 1.

Thực hiện phép tính:

a) \({x^3}\left( { - \frac{5}{4}{x^2}y} \right)\left( {\frac{2}{5}{x^3}{y^4}} \right)\);

b) \(\left( { - \frac{3}{4}{x^5}{y^4}} \right)\left( {x{y^2}} \right)\left( { - \frac{8}{9}{x^2}{y^5}} \right)\).

Cho tam giác ABC có cạnh BC = 2x (dm), đường cao AH = x (dm) với x > 0 và hình vuông MNPQ có cạnh MN = y (dm) với y > 0 (Hình 4).

=

a) Viết công thức tính tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP dưới dạng tích.

b) Tính tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP, biết x ‒ y = 2 và x + y = 10.

Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) \(A = {x^2} + xy + \frac{{{y^2}}}{4}\) biết \(x + \frac{y}{2} = 100\).

b) B = 25x²z ‒ 10xyz + y²z biết 5x ‒ y = ‒20 và z = ‒5.

c) C = x³yz + 3x²y²z + 3xy³z + y⁴z biết x + y = ‒0,5 và yz = 8.

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) x³(13xy ‒ 5) ‒ y³(5 ‒ 13xy);

b) 8x³yz + 12x²yz + 6xyz + yz.

Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:

a) \(25{x^2} - \frac{1}{4}\);

b) 36x² + 12xy + y²;

c) \(\frac{{{x^3}}}{2} + 4\);

d) 27y³ + 27y² + 9y + 1.

c) AM ⊥ BN.

b) $\widehat{BAO}=\widehat{MBO}$;

Cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Gọi O là giao điểm của AM và BN. Chứng minh:

a) ΔABM = ΔBCN;

c) Tam giác DCM là tam giác cân.

b) Ba điểm A, D, M thẳng hàng;

Cho hình thoi ABCD và hình bình hành BCMD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a) $OD=\frac{1}{2}CM$ và tam giác ACM là tam giác vuông;

c) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

b) Tứ giác AMCN là hình bình hành;

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là điểm nằm giữa A và B, N là điểm nằm giữa C và D sao cho AM = CN. Gọi I là giao điểm của MN và AC. Chứng minh:

a) ΔIAM = ΔICN;

Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lần lượt lấy các điểm D, G sao cho AD = CG < AC. Từ điểm D kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AB). Chứng minh tứ giác CDEG là hình chữ nhật.

Cho hình chữ nhật ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

Cho tứ giác ABCD có $\widehat{DAB}=\widehat{BCD},\widehat{ABD}=\widehat{CDB}$. Chứng minh ABCD là hình bình hành.

b) Khoảng cách tối thiểu và khoảng cách tối đa để xem chiếc ti vi đó là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Màn hình một chiếc ti vi có dạng hình chữ nhật với kích thước màn hình ti vi được tính bằng độ dài đường chéo của màn hình (đơn vị: inch, trong đó 1 inch = 2,54 cm). Người ta đưa ra công thức tính khoảng cách an toàn khi xem ti vi để giúp khách chọn được chiếc ti vi phù hợp với căn phòng hàng của mình như sau:

    Khoảng cách tối thiểu = 5,08 . d (cm);

Khoảng cách tối đa = 7,62 . d (cm).

Trong đó, d là kích thước màn hình ti vi tính theo inch.

Với một chiếc ti vi có chiều dài màn hình là 74,7 cm; chiều rộng màn hình là 32 cm:

a) Kích thước màn hình của chiếc ti vi đó là bao nhiêu inch (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Hình 72 mô tả một cây cao 4 m. Biết rằng khi trời nắng, cây đổ bóng trên mặt đất, điểm xa nhất của bóng cây cách gốc cây một khoảng là 3 m. Tính khoảng cách từ điểm xa nhất của bóng cây đến đỉnh 4 m của cây.

Cho hình chữ nhật MNPQ. Đoạn thẳng MP bằng đoạn thẳng nào sau đây?

A. NQ.

B. MN.

C. NP.

D. QM.

Cho hình bình hành MNPQ có các góc khác 90°, MP cắt NQ tại I. Khi đó

A. IM = IN.

B. IM = IP.

C. IM = IQ.

D. IM = MP.

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, $\widehat{A}=80°$. Khi đó, $\widehat{C}$ bằng

A. 80°.

B. 90°.

C. 100°.

D. 110°.

Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A}=60°,\widehat{B}=70°,\widehat{C}=80°$. Khi đó, $\widehat{D}$ bằng

A. 130°.

B. 140°.

C. 150°.

D. 160°.

Bạn Thảo có một mảnh giấy có dạng hình tròn. Bạn Thảo đố bạn Minh: Không dùng thước thẳng và compa, làm thế nào có thể xác định tâm của hình tròn và chọn ra 4 vị trí trên đường tròn đó để chúng là 4 đỉnh của một hình vuông?

Bạn Minh đã làm như sau:

Bước 1. Gấp mảnh giấy sao cho hai nửa hình tròn trùng khít nhau. Nét gấp thẳng tạo thành đường kính của hình tròn. Ta đánh dấu hai đầu mút của đường kính đó là hai điểm A, C.

Bước 2. Tiếp tục gấp mảnh giấy (có dạng nửa hình tròn) ở Bước 1 sao cho hai nửa mới của nửa hình tròn đó lại trùng khít nhau. Trải miếng bìa về dạng hình tròn ban đầu, ta được nét gấp mới là một đường kính khác của hình tròn.

Bước 3. Ta đánh dấu giao điểm của hai đường kính là O và hai đầu mút của đường kính mới là hai điểm B, D. Khi đó O là tâm của hình tròn và tứ giác ABCD là hình vuông (Hình 71).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Minh.

Cho hai mảnh giấy, mỗi mảnh có dạng hình vuông với độ dài cạnh là 1 dm. Hãy trình bày cách cắt ghép hai mảnh giấy đó để được một hình vuông có độ dài cạnh là $\sqrt{2}$ dm.

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh tứ giác AHDK là hình vuông.

Cho hình thoi ABCD có $\widehat{A}=90°$. Chứng minh ABCD là hình vuông.

Cho hình thoi ABCD có AC = BD. Chứng minh ABCD là hình vuông.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = DE = EC.

Qua D và E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC lần lượt tại H và G. Chứng minh tứ giác DEGH là hình vuông.

c) Cho hình chữ nhật ABCD có AC là tia phân giác của góc DAB.

• Tam giác ABC có phải là tam giác vuông cân hay không?

• ABCD có phải là hình vuông hay không?

b) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (Hình 69).

• Đường thẳng AC có phải là đường trung trực của thẳng BD hay không? đoạn

• ABCD có phải là hình vuông hay không?

a) Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau. ABCD có phải là hình vuông hay không?

Cho hình vuông ABCD. Tính số đo các góc CAB, DAC.

b) Mỗi hình vuông có là một hình thoi hay không?

a) Mỗi hình vuông có là một hình chữ nhật hay không?

Cho biết các góc và các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 65 có đặc điểm gì.

Một số hoạ tiết và hoa văn trên thổ cẩm (Hình 64) có dạng hình vuông.

Hình vuông có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình vuông?

Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh là 40 cm và số đo một góc là 60° (Hình 63). Diện tích của viên gạch đó là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?