Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết câu hỏi trên như sau:

‒ Trong một hình thoi:

+ Bốn cạnh bằng nhau;

+ Các cạnh đối song song.

+ Các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

‒ Dấu hiệu nhận biết hình thoi:

+ Hình bình hành có hai cạnh kề nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Xét tứ giác ABCD ở Hình 56 ta có: AB = BC = CD = DA.

a) Do ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

Xét tứ giác ABCD có: AB = CD, AD = BC nên ABCD là hình bình hành.

b) Do ABCD là hình bình hành nên OB = OD.

Xét ΔOAD và ΔOAB có:

OA là cạnh chung;

AD = AB (chứng minh trên);

OD = OB (chứng minh trên).

Do đó ΔOAD = ΔOAB (c.c.c)

Suy ra $\widehat{AOD}=\widehat{AOB}$ (hai góc tương ứng)

Mà .$\widehat{AOD}+\widehat{AOB}=180°$. (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat{AOD}=\widehat{AOB}=\frac{180°}{2}=90°$ hay AC ⊥ BD tại O.

c) Xét ΔABC và ΔADC có:

AC là cạnh chung;

AB = AD (chứng minh câu a);

BC = DC (chứng minh câu a)

Do đó ΔABC = ΔADC (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{DAC}$ (hai góc tương ứng)

Nên AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$.

Do ABCD là hình thoi nên AB = AD

Tam giác ABD có AB = AD nên là tam giác cân tại A.

Do ABCD là hình thoi nên BD là tia phân giác của góc ABC.

Suy ra $\widehat{ABD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\frac{1}{2}.120°=60°$.

Xét ΔABD cân có $\widehat{ABD}=60°$ nên là tam giác đều.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AD = BC.

Mà AB = BC nên AB = BC = CD = DA.

Tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

b) • Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Do đó AC ⊥ BD tại trung điểm O của đoạn thẳng BD.

Suy ra AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

• Vì AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD nên AD = AB.

Theo kết quả câu a, hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AD và AB bằng nhau nên là hình thoi.

Do MN = MA nên M là trung điểm của AN.

Xét tứ giác ABNC có hai đường chéo AN và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường

Do đó ABNC là hình bình hành.

Mặt khác, ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

Do đó AM ⊥ BC hay AN ⊥ BC.

Suy ra hình bình hành ABNC có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Do đó AC = 2OA, BD = 2OB.

Ta có: AC² + BD² = (2OA)² + (2OB)² = 4OA² + 4OB² = 4(OA² + OB²).

Xét ΔOAB vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:

AB² = OA² + OB²

Suy ra AC² + BD² = 4(OA² + OB²) = 4AB².

Giả sử một lưới mắt cáo được mô tả bởi hình thoi ABCD như hình vẽ trên.

Khi đó AC = 90 mm, BD = 45 mm.

Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra $OA=\frac{1}{2}AC=45\left(mm\right)$; $OB=\frac{1}{2}BD=\mathrm{22,5}\left(mm\right)$.

Xét ΔOAB vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:

AB2 = OA2 + OB2 = 452 + 22,52 = 2 025 + 506,25 = 2531,25

Suy ra $AB=\sqrt{2\mathrm{531,25}}\approx 50\left(mm\right)$.