Tập hợp các giá trị của m để hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{\left(2-3m\right)x^2+2mx+m-1}}$ có tập xác định là ℝ là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ khi và chỉ khi (2 – 3m)x² + 2mx + m – 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Đặt f(x) = (2 – 3m)x² + 2mx + m – 1.

Trường hợp 1: a = 0 ⇔ 2 – 3m = 0 ⇔ m = $\frac{2}{3}$.

Với $m=\frac{2}{3}$, ta có $0.x^2+2.\frac{2}{3}.x+\frac{2}{3}-1>0$

$\iff \frac{4}{3}x-\frac{1}{3}>0\iff x>\frac{1}{4}$.

Do đó $m=\frac{2}{3}$ không thỏa mãn.

Trường hợp 2: a ≠ 0.

Khi đó f(x) là tam thức bậc hai có:

∆’ = m² – (2 – 3m)(m – 1)

= m² – (–3m² + 5m – 2)

 = 4m² – 5m + 2.

Để f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ thì a > 0 và ∆ < 0.

$\iff \left\{\begin{array}{l}2-3m>0\\ 4m^2–5m+2<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<\frac{2}{3}\\ 4m^2–5m+2<0\end{array}\right.$ (1)

Ta giải bất phương trình 4m² – 5m + 2 < 0 như sau:

Tam thức bậc hai g(m) = 4m² – 5m + 2 có ∆ = (–5)² – 4.4.2 = –7 < 0.

Do đó g(m) vô nghiệm.

Ta lại có a_m = 4 > 0.

Vì vậy g(m) > 0, với mọi giá trị của m ∈ ℝ.

Do đó không có giá trị nào của m thỏa mãn g(m) = 4m² – 5m + 2 < 0.

Vì vậy không có giá trị nào của m để (1) thỏa mãn.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta thu được m ∈ ∅.

Vậy ta chọn phương án C.