Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–1; –2), B(3; 2), C(4; –1). Biết rằng điểm E(a; b) di động trên đường thẳng AB sao cho \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a.b bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;4} \right),\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {a + 1;b + 2} \right)\).

Vì E di động trên đường thẳng AB nên ba điểm A, E, B thẳng hàng.

Tức là, \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AB} \)         

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 4k\\b + 2 = 4k\end{array} \right.\)

Do đó a + 1 = b + 2

Vì vậy a = b + 1.

Khi đó tọa độ E(b + 1; b).

Ta có:

⦁ \(\overrightarrow {EA} = \left( { - 2 - b; - 2 - b} \right)\).

Suy ra \(2\overrightarrow {EA} = \left( {2\left( { - 2 - b} \right);2\left( { - 2 - b} \right)} \right) = \left( { - 4 - 2b; - 4 - 2b} \right)\);

⦁ \(\overrightarrow {EB} = \left( {2 - b;2 - b} \right)\).

Suy ra \(3\overrightarrow {EB} = \left( {3\left( {2 - b} \right);3\left( {2 - b} \right)} \right) = \left( {6 - 3b;6 - 3b} \right)\);

⦁ \(\overrightarrow {EC} = \left( {3 - b; - 1 - b} \right)\).

Suy ra,

\(2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} = \left( { - 4 - 2b + 6 - 3b - 3 + b; - 4 - 2b + 6 - 3b + 1 + b} \right) = \left( { - 4b - 1; - 4b + 3} \right)\).

Khi đó \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4b - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4b + 3} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {16{b^2} + 8b + 1 + 16{b^2} - 24b + 9} = \sqrt {2\left( {16{b^2} - 8b + 1} \right) + 8} \)

\( = \sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \).

Ta có (4b – 1)² ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.

Suy ra 2(4b – 1)² ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.

Khi đó 2(4b – 1)² + 8 ≥ 8, ∀b ∈ ℝ.

Vì vậy \(\sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \ge \sqrt 8 = 2\sqrt 2 ,\,\,\forall b \in \mathbb{R}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(4b - 1 = 0 \Leftrightarrow b = \frac{1}{4}\).

Vậy \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(b = \frac{1}{4}\).

Với \(b = \frac{1}{4}\), ta có \(a = b + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\).

Vậy \(ab = \frac{5}{4}.\frac{1}{4} = \frac{5}{{16}}\).

Do đó ta chọn phương án C.