Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (Phần 2) có đáp án
Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ (Phần 2) có đáp án (Vận dụng)
-
461 lượt thi
-
5 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm \(G\left( {\frac{2}{3};0} \right)\), biết M(1; –1) là trung điểm của cạnh BC. Tọa độ đỉnh A là:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có M là trung điểm của cạnh BC.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\ - 1 = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}2 = {x_B} + {x_C}\\ - 2 = {y_B} + {y_C}\end{array} \right.\)
Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\0 = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}2 = {x_A} + {x_B} + {x_C}\\0 = {y_A} + {y_B} + {y_C}\end{array} \right.\)
Thế xB + xC = 2 vào xA + xB + xC = 2, ta được: xA + 2 = 2.
Suy ra xA = 0.
Thế yB + yC = –2 vào yA + yB + yC = 0, ta được: yA – 2 = 0.
Suy ra yA = 2.
Do đó tọa độ A(0; 2).
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(3; 3), B(–1; –9), C(5; –1). Gọi I là trung điểm của AB. Tọa độ M thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CI} \) là:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có I là trung điểm của AB.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{3 - 9}}{2} = - 3\end{array} \right.\)
Do đó tọa độ I(1; –3).
Vì vậy \(\overrightarrow {CI} = \left( { - 4; - 2} \right)\).
Suy ra \( - \frac{1}{2}\overrightarrow {CI} = \left( { - \frac{1}{2}.\left( { - 4} \right); - \frac{1}{2}.\left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;1} \right)\).
Gọi M(xM; yM). Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} - 3;{y_M} - 3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CI} \).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} - 3 = 2\\{y_M} - 3 = 1\end{array} \right.\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 5\\{y_M} = 4\end{array} \right.\)
Vì vậy M(5; 4).
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 4), B(2; 1), C(–1; –2). Cho M(x; y) trên đoạn thẳng BC sao cho SABC = 4SABM. Khi đó x2 – y2 bằng:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Kẻ AH ⊥ BC tại H.
Ta có:
⦁ \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 3} \right)\). Suy ra \(\frac{1}{4}\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{1}{4}.\left( { - 3} \right);\frac{1}{4}.\left( { - 3} \right)} \right) = \left( {\frac{{ - 3}}{4};\frac{{ - 3}}{4}} \right)\);
⦁ \(\overrightarrow {BM} = \left( {x - 2;y - 1} \right)\).
Ta có SABC = 4SABM
Suy ra \(\frac{1}{2}AH.BC = 4.\frac{1}{2}AH.BM\)
Do đó BC = 4BM
Vì vậy \(BM = \frac{1}{4}BC\)
Suy ra \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - \frac{3}{4}\\y - 1 = - \frac{3}{4}\end{array} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{4}\\y = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)
Suy ra \({x^2} - {y^2} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{13}}{8}\).
Vậy ta chọn phương án A.
Câu 4:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;4} \right),\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {a + 1;b + 2} \right)\).
Vì E di động trên đường thẳng AB nên ba điểm A, E, B thẳng hàng.
Tức là, \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AB} \)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 4k\\b + 2 = 4k\end{array} \right.\)
Do đó a + 1 = b + 2
Vì vậy a = b + 1.
Khi đó tọa độ E(b + 1; b).
Ta có:
⦁ \(\overrightarrow {EA} = \left( { - 2 - b; - 2 - b} \right)\).
Suy ra \(2\overrightarrow {EA} = \left( {2\left( { - 2 - b} \right);2\left( { - 2 - b} \right)} \right) = \left( { - 4 - 2b; - 4 - 2b} \right)\);
⦁ \(\overrightarrow {EB} = \left( {2 - b;2 - b} \right)\).
Suy ra \(3\overrightarrow {EB} = \left( {3\left( {2 - b} \right);3\left( {2 - b} \right)} \right) = \left( {6 - 3b;6 - 3b} \right)\);
⦁ \(\overrightarrow {EC} = \left( {3 - b; - 1 - b} \right)\).
Suy ra,
\(2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} = \left( { - 4 - 2b + 6 - 3b - 3 + b; - 4 - 2b + 6 - 3b + 1 + b} \right) = \left( { - 4b - 1; - 4b + 3} \right)\).
Khi đó \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4b - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4b + 3} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {16{b^2} + 8b + 1 + 16{b^2} - 24b + 9} = \sqrt {2\left( {16{b^2} - 8b + 1} \right) + 8} \)
\( = \sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \).
Ta có (4b – 1)2 ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.
Suy ra 2(4b – 1)2 ≥ 0, ∀b ∈ ℝ.
Khi đó 2(4b – 1)2 + 8 ≥ 8, ∀b ∈ ℝ.
Vì vậy \(\sqrt {2{{\left( {4b - 1} \right)}^2} + 8} \ge \sqrt 8 = 2\sqrt 2 ,\,\,\forall b \in \mathbb{R}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(4b - 1 = 0 \Leftrightarrow b = \frac{1}{4}\).
Vậy \(\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(b = \frac{1}{4}\).
Với \(b = \frac{1}{4}\), ta có \(a = b + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\).
Vậy \(ab = \frac{5}{4}.\frac{1}{4} = \frac{5}{{16}}\).
Do đó ta chọn phương án C.
Câu 5:
Cho hai lực F1, F2. Biết \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) có cùng cường độ lực là 100 N, góc hợp bởi \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) là 120°. Khi đó cường độ lực tổng hợp của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) bằng:
Xem đáp án
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi là lực tổng hợp của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \).
Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ, với x và y được tính bằng đơn vị Newton.
Ta có:
⦁ \(\overrightarrow {{F_1}} = \left( {100;0} \right)\).
⦁ \(\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 120^\circ \). Suy ra tọa độ \(\overrightarrow {{F_2}} = \left( {100.\cos 60^\circ ;100.\sin 60^\circ } \right) = \left( {50;50\sqrt 3 } \right)\).
Do đó, lực tổng hợp \(\overrightarrow F \) của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) có tọa độ là:
\(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \left( {100 + 50;0 + 50\sqrt 3 } \right) = \left( {150;50\sqrt 3 } \right)\).
Vì vậy cường độ của lực tổng hợp của \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \) là: \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{150}^2} + {{\left( {50\sqrt 3 } \right)}^2}} = 100\sqrt 3 \,\,\,\left( N \right)\).
Vậy ta chọn phương án D.