Cho hình thoi ABCD, đường cao BH = 3 cm với H thuộc AD. Điểm M nằm trong hình thoi có tổng các khoảng cách đến AB và AD là 3 cm. Chứng minh B, M, D thẳng hàng.
Giải bởi Vietjack
Kẻ ME ^ AB, MF ^ AD, MK ^ BH
Tứ giác HKMF có:
\[\widehat {KHF} = \widehat {HFM} = \widehat {HKM} = 90^\circ \]
Þ HKMF là hình chữ nhật nên HK = MF.
Theo đề bài:
ME + MF = 3 cm
BK + KH = BH = 3 cm
Þ BK = ME
Ta có:
\[\widehat {ABM} = \widehat {ADB}\] (vì ABCD là hình thoi)
MK // AD (vì cùng vuông góc với BH)
Þ \[\widehat {BMK} = \widehat {ADB}\] (hai góc đồng vị)
Þ \[\widehat {BMK} = \widehat {ABM}\](vì cùng bằng \[\widehat {ADB}\])
Xét ΔKBM và ΔEMB có:
BK = ME
\[\widehat {BMK} = \widehat {ABM}\]
\[\widehat {BKM} = \widehat {BEM} = 90^\circ \]
Þ ΔKBM = ΔEMB (cạnh góc vuông – góc nhọn)
\[ \Rightarrow \widehat {KBM} = \widehat {EMB}\]
Gọi O là giao điểm của KB và ME
Þ ΔOMB cân
Þ OM = OB
Mà ME = BK
Þ ME – OM = BK – OB
Þ OE = OK
\[ \Rightarrow \frac{{OE}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OB}}\]
Þ EK // BM (định lý Ta-let) (1)
Gọi EK cắt AC tại I, KM cắt AC tại J, AC cắt BD tại P
Xét ΔIKJ và ΔPMJ có:
\[\widehat {IKJ} = \widehat {JMP}\]
\[\widehat {IJK} = \widehat {MJP}\] (vì đối đỉnh)
Þ ΔIKJ ᔕ ΔPMJ (g.g)
\[ \Rightarrow \widehat I = \widehat P = 90^\circ \]
Þ EK ^ AC. Mà BD ^ AC
Þ EK // BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra B, M, D thẳng hàng
Vậy B, M, D thẳng hàng.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Tìm hai số biết tổng của chúng gấp 9 lần hiệu của chúng và hiệu kém số bé 27 đơn vị.
Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BG và CG. I và K lần lượt là trung điểm của GM, GN. Cho BC = 10 cm. Tính DE + IK.
Tìm phân số tối giản lớn nhất có tổng của tử số và mẫu số bằng 100.
Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BG và CG. I và K lần lượt là trung điểm của GM, GN. Chứng minh IK // DE.
Một hộp đựng 10 chiếc thẻ được đánh số từ 0 đến 9. Lấy ngẫu nhiên ra 3 chiếc thẻ, xác suất để 3 chữ số trên 3 chiếc thẻ được lấy ra có thể ghép thành một số chia hết cho 5 bằng:
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh diện tích tam ABC gấp 3 lần diện tích tam giác AGC.
Một cửa hàng xăng dầu trong 3 ngày đầu tuần bán được 1150 lít xăng, 4 ngày còn lại trong tuần bán được 3540 lít xăng. Hỏi trung bình mỗi ngày trong tuần đó cửa hàng bán được bao nhiêu lít xăng?
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy tương ứng hai điểm D, E sao cho AD = AE. Từ A và D kẻ đường vuông góc với BE và cắt BC tại M, N. Tia ND cắt tia CA ở I. Chứng minh A là trung điểm của CI.
Một đội 15 công nhân dự định lắp một cái máy trong 20 ngày, mỗi ngày làm việc 8 giờ. Nếu thêm 5 người nữa mà cả đội làm việc ngày 10 giờ thì lắp cái máy trong bao nhiêu ngày?
Hai bể nước chứa tất cả 8000 lít nước. Nếu ta tháo bớt 750 lít nước ở bể thứ nhất và 1250 lít nước ở bể thứ hai thì số nước còn lại của hai bể bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bể chứa bao nhiêu lít nước?
Xe thứ nhất chở được 8 tấn thóc, xe thứ hai chở nhiều hơn xe thứ nhất 4 tạ thóc. Xe thứ ba chở được số thóc bằng \[\frac{1}{4}\] số thóc mà xe thứ nhất và xe thứ hai chở được. Vậy cả ba xe chở được bao nhiêu tạ thóc?
Có 5 người ăn trong 8 ngày hết 24 ki-lô-gam gạo. Hỏi 7 người ăn trong 10 ngày thì hết bao nhiêu ki-lô-gam gạo? Biết rằng khẩu phần ăn của mỗi người là như nhau.
Một người thợ làm 24 ngày công trong một tháng được nhận 1 560 000 đồng tiền công. Hỏi trung bình một ngày công người thợ được nhận bao nhiêu tiền?
Cho dãy số: 1; 2; 3; 4;.........;124; 125. Hỏi dãy số có bao nhiêu chữ số?
