Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Lí, 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 em học sinh A,B,C,D,E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho sau khi tặng xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn ít nhất một cuốn.

I. Hoán vị

1. Định nghĩa

- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.

2. Số các hoán vị

Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử.

- Định lí: Pn = n.(n – 1).(n – 2)….2.1

- Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: Pn = n!.

- Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang.

Lời giải:

Số cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là 10! cách.

II. Chỉnh hợp

1. Định nghĩa.

- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Ví dụ 2. Lớp 11A2 có 40 học sinh. Khi đó; mỗi cách chọn ra 4 bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ 4 chính là số chỉnh hợp chập 4 của 40 học sinh.

2. Số các chỉnh hợp

- Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) .

- Định lí:$A_n^k=n(n-1)\mathrm{...}(n-k+\text{\hspace{0.17em}}1)$

- Ví dụ 3. Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E  ta lập được bao nhiêu vectơ khác  có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho.

Lời giải:

Một vectơ được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Số vecto khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là năm điểm đã cho chính là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử:

Do đó, ta có: $A_5^2=\mathrm{5.4.3}=60$ vectơ thỏa mãn đầu bài.

- Chú ý:

a) Với quy ước 0! = 1 ta có: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!};1\le k\le n$.

b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.

Vì vậy: $P_n=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{A}_n^n$.

III. Tổ hợp

1. Định nghĩa.

- Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.

Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.

2. Số các tổ hợp.

Kí hiệu $C_n^k$ là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n).

- Định lí: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ví dụ 5. Cho 8 điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, ta lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho.

Lời giải:

Mỗi tam giác được lập là 1 tổ hợp chập 3 của 8 (điểm).

Vì vậy số tam giác có 3 đỉnh là 8 điểm đã cho là $C_8^3=$56.

3. Tính chất của các số $C_n^k$

a) Tính chất 1.

$C_n^k=C_n^{n-k};0\le k\le n$.

Ví dụ 6. $C_8^3=C_8^5=56$.

b) Tính chất 2 (công thức Pa-xcan).

$C_{n-1}^{k-1}+\text{\hspace{0.17em}}{C}_{n-1}^k=C_n^k;1\le k<n$

Ví dụ 7. $C_8^4+C_8^5=C_9^5=126$.