Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có hai cực trị thỏa mãn $y_{CD}.y_{CT}<0$. Khi đó:

I. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên.

+ Xét chiều biến thiên của hàm số.

 - Tính đạo hàm y’.

 - Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định.

 - Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm các tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3. Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị hàm số.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.

2. Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

3. Nên lưu ý tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

II. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức.

1. Hàm số y = ax³ + bx² + cx  + d (a ≠ 0)

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = – x³  + 3x² – 1

Lời giải:

1. Tập xác định: R.

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên:

y’ = – 3x² + 6x;   y’ = 0$\iff [\begin{array}{c}x=\mathrm{\hspace{0.17em}0}\\ x=2\end{array}$

Trên các khoảng $(-\mathrm{\infty };\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}0})$và $(2;+\mathrm{\infty });y^{\text{'}}$ âm nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng (0; 2); y’ dương nên  hàm số đồng biến.

+ Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = 2; y_CĐ  = y(2) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y_CT = y(0) = –1.

+ Các giới hạn vô cực:

$\underset{x\to \mathrm{ }+\mathrm{\infty }}{lim}(-x^3+3x^2-1)=-\mathrm{\infty };\underset{x\to \mathrm{ }-\mathrm{\infty }}{lim}(-x^3+3x^2-1)=+\mathrm{\infty }$

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Ta có y(0) = – 1 nên (0; – 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy. Điểm đó cũng là điểm cực tiểu của đồ thị.

Đồ thị hàm số được cho trên hình bên.

Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x³ – 3x²  + 3x + 1.

Lời giải:

1. Tập xác định: R.

2. Sự biến thiên.

+ Chiều biến thiên:

Vì y’= 3x² – 6x + 3 = 3(x – 1)² $\ge 0\forall x\in R$ và f’(x) = 0 tại x = 1 nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$.

Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn vô cực:

$\begin{array}{c}\underset{x\to \mathrm{ }+\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to \mathrm{ }+\mathrm{\infty }}{lim}[x^3.(1-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3})]=+\mathrm{\infty };\\ \underset{x\mathrm{ }-\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to \mathrm{ }-\mathrm{\infty }}{lim}[x^3.(1-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3})]=-\mathrm{\infty }\end{array}$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị hàm số đã cho cắt trục Oy tại điểm (0; 1) và đi qua điểm A(1; 2).

Đồ thị hàm số được cho như hình vẽ dưới đây.

Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0).

2. Hàm số y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = – x⁴  + 2x² – 1.

Lời giải:

1. Tập xác định: R

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên;

Ta có: y’ = – 4x³ + 4x

$y^{\text{'}}=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$

Trên các khoảng $(-\mathrm{\infty };-1)$ và (0; 1) thì y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (– 1; 0) và $(1;+\mathrm{\infty })$ thì y’ < 0 nên hàm số nghịch biên.

+ Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 và y_CT = y(0) = – 1.

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và x = 1; y_CD = y(– 1)= y(1) = 0.

+ Giới hạn tại vô cực:

$\begin{array}{c}\underset{x\to \mathrm{ }+\mathrm{\infty }}{lim}{x}^4(-1+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^4})=-\mathrm{\infty };\\ ,\underset{x\to \mathrm{ }-\mathrm{\infty }}{lim}{x}^4(-1+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^4})=-\mathrm{\infty };\end{array}$

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Hàm số đã cho là hàm số chẵn vì f(– x) = – (– x)⁴ + 2(– x)² – 1 = – x⁴  + 2x² – 1 = f(x).

Do đó, hàm số nhận trục Ox làm trục đối xứng.

Đồ  thị cắt trục hoành tại các điểm (– 1; 0) và (1; 0) ; cắt trục tung tại điểm (0 ; –1).

 Dạng của đồ thị  y = ax⁴ + bx² + c  (với a ≠ 0)

3. Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d};(c\ne 0;ad-bc\ne 0)$.

Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{2x+\mathrm{\hspace{0.17em}1}}{x+\mathrm{\hspace{0.17em}1}}$.

Lời giải:

1. Tập xác định: R\ – 1.

2. Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên: $y^{\text{'}}=\frac{1}{{(x+\mathrm{\hspace{0.17em}1})}^2}>0\forall x\ne \mathrm{ }-1$

Và y’ không xác định khi x = –1; y’ luôn luôn dương với mọi x khác – 1.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\mathrm{\infty };-1)$ và $(-1;+\mathrm{\infty })$.

+ Cực trị

Hàm số đã cho không có cực trị.

+ Tiệm cận $\underset{x\to \mathrm{ }-1^{+}}{lim}\frac{2x+1}{x+\mathrm{\hspace{0.17em}1}}=+\mathrm{\infty };\underset{x\to \mathrm{ }-1^{-}}{lim}\frac{2x+\mathrm{\hspace{0.17em}1}}{x+\mathrm{\hspace{0.17em}1}}=-\mathrm{\infty };$

Do đó, đường thẳng x = – 1 là đường tiệm cận đứng.

Lại có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}}{x+\mathrm{\hspace{0.17em}1}}=2;\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}}{x+\mathrm{\hspace{0.17em}1}}=2$

Suy ra, đồ thị có tiệm cận ngang là y = 2.

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1); cắt trục hoành tại điểm $(\frac{-1}{2};\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}0})$.

Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

Dạng của đồ thị hàm số $\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{a}\mathbf{}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\mathbf{c}\mathbf{}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{d}}\mathbf{;}\mathbf{(}\mathbf{c}\mathbf{\ne }\mathbf{0}\mathbf{;}\mathbf{a}\mathbf{d}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{c}\mathbf{\ne }\mathbf{0}\mathbf{)}$

III. Sự tương giao của các đồ thị.

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C₁) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C₂). Để tìm hoành độ giao điểm của (C₁)và (C₂), ta phải giải phương trình f(x) = g(x).

Giả sử phương trình trên có các nghiệm x₀; x₁; … khi đó, các giao điểm của (C₁)và (C₂) là M₀ (x₀; f(x₀)); M₁ (x₁; f(x₁))…..

Ví dụ 5. Tìm giao điểm của đồ thị (C): y = x³ – 3x² + 3x + 2  và đường thẳng y = x + 2.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

x³ – 3x² + 3x + 2 = x + 2

$\iff$ x³ – 3x² + 2x  = 0

$\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}$

Với x = 0 thì y(0) = 2;

Với x = 1 thì y(1) = 3.

Với x = 2 thì y(2) = 4.

Vây hai đồ thị đã cho cắt nhau tại 3 điểm là A(0; 2); B(1; 3) và C(2; 4).

Ví dụ 6. Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị  (C). Tìm m để đường thẳng d: y = – x + m cắt đồ thị  (C) tại hai điểm phân biệt.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

 $\frac{2x-1}{x-1}=-x+m$ (điều kiện x ≠ 1)

Suy ra: 2x – 1 = (x – 1) .(– x + m)

$\iff$2x – 2 = – x² + mx + x – m

Để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$\iff \{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\mathrm{ }={(1-m)}^2-\mathrm{\hspace{0.17em}4.1}.(m-2)>\mathrm{\hspace{0.17em}0}\\ 1^2+(1-m).1+m-2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{m}^2-6m+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}9}>\mathrm{\hspace{0.17em}0}\\ 0\ne 0\left(vli\right)\end{array}$

Vậy không có giá trị nào của m để d cắt (C ) tại hai điểm phân biệt.