IMG-LOGO

Câu hỏi:

17/08/2021 12,924

Cho dãy số un xác định bởi u1=2un+1=un+12,n1 . Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Dãy  un là dãy giảm tới 1 khi n→+

Đáp án chính xác

B. Dãy un  là dãy tăng tới 1 khi n→+

C. Không tồn tại giới hạn của dãy un

D. Cả 3 đáp án trên đều sai

 Xem lời giải  Xem lý thuyết

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

u2=2+12=32=21+121u3=32+12=54=22+122u4=54+12=98=23+123

Chứng minh bằng quy nạp: un+1=2n+12n,n=1,2,...(*);

* Với  n=1;u2=u1+12=2+12=21+121:(*) đúng

* Giả sử (*) đúng với n=k1 , tức là uk=2k+12k  ta chứng minh (*) đúng với n=k+1 , tức là cần chứng minh uk+1=2k+1+12k+1

Ta có : 

uk+1=uk+12=2k+12k+12=2k+1+2k2k2=2.2k+12.2k=2k+1+12k+1

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy un là:

un=2n1+12n1=1+12n1,  n=1;2;...    ()

Từ (*) ta có  un+1un=1+12n1+12n1=12n12n1<0n=1,2,...                   

un  là dãy giảm và  limun=lim1+12n1=1  

un là dãy giảm tới 1 khi n→+∞

Đáp án cần chọn là: A

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giá trị của limn!nn3+2n bằng

Xem đáp án » 17/08/2021 5,109

Câu 2:

Cho dãy số un với un=11.2+12.3+13.4+...+1n(n+1). Khi đó limun bằng?

Xem đáp án » 17/08/2021 4,550

Câu 3:

Tính giới hạn của dãy số  un=121+2+132+23+...+1(n+1)n+nn+1

Xem đáp án » 17/08/2021 1,955

Câu 4:

Cho dãy số un với un=1122.1132...11n2. Khi đó limun bằng?

Xem đáp án » 17/08/2021 1,741

Câu 5:

Giá trị của K=limn3+n21334n2+n+1+5n bằng:

Xem đáp án » 17/08/2021 1,557

Câu 6:

Tính giới hạn của dãy số un=q+2q2+...+nqn  với q<1

Xem đáp án » 17/08/2021 1,409

Câu 7:

Giá trị của D=limn2+2nn3+2n23 bằng:

Xem đáp án » 17/08/2021 548

Câu 8:

Giá trị của D=limn2+13n3+232n4+n+24n bằng:

Xem đáp án » 17/08/2021 399

Câu 9:

Cho dãy số un xác định bởi u1=1un+1=un(un+1)(un+2)(un+3)+1,(n1)  . Đặt vn=i=2n1ui+2. Tính limvn bằng?

Xem đáp án » 17/08/2021 354

LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limn+un=0  hay un → 0 khi n → +∞.

Ví dụ 1. Cho dãy số (un) với un=1nn2. Tìm giới hạn dãy số

Giải

Xét un=1n2=1n2

Với n > 10 n2 > 102 = 100

un=1n2=1n2<1100

limnun=0.

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu limn+vna=0

Kí hiệu:  limn+vn=a hay vn → a khi n → +∞.

Ví dụ 2. Cho dãy số vn=n13+2n. Chứng minh rằng limnvn=12.

Giải

Ta có limnvn+12=limnn13+2n+12=limn=123+2n=0

Do đó: limnvn=12.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) limn+1n=0,limn+1nk=0 với k nguyên dương;

b)  limn+qn nếu |q| < 1;

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì  limn+un=limn+c=c.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho  limn+un=a ta viết tắt là lim un = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

limunvn=ab (nếu b0)

Nếu  un0với mọi n và limun­ = a thì:

limun=a  và a0.

Ví dụ 3. Tính limn22n+1

Giải

limn22n+1=limn3+n22n+1=lim1+1n2n31n2+1n3=lim1+1n2n3:lim1n2+1n3

=lim1+lim1nlim2n3:lim1n2+lim1n3

=+

Ví dụ 4. Tìm lim2+9n21+4n

Giải

lim2+9n21+4n=limn22n2+9n1n+4=limn2n2+9n1n+4=lim2n2+91n+4=34.

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+u3+...+un+...=u11qq<1

Ví dụ 5. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1;12;14;18;...;12n1;...

Giải

Ta có dãy số1;12;14;18;...;12n1;...  là một số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q=12.

Khi đó ta có: Sn=lim1+12+14+18+...+12n1+...=1112=23.

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qn = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì limunvn=0

b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì limunvn=+

c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì limun.vn=+.

Ví dụ 6. Tính lim2n+1n.

Giải

lim2n+1n=lim2n+lim1n

lim2n=+ và lim1n=0

lim2n+1n=+

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »