Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\sqrt{u_n(u_n+1)(u_n+2)(u_n+3)+1},(n\ge 1)\end{array}\right.$  . Đặt $v_n=\sum _{i=2}^n\frac{1}{u_i+2}$. Tính $\lim \left(v_n\right)$ bằng?

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$  hay un → 0 khi n → +∞.

Ví dụ 1. Cho dãy số (un) với $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}$. Tìm giới hạn dãy số

Giải

Xét $\left|u_n\right|=\left|\frac{1}{n^2}\right|=\frac{1}{n^2}$

Với n > 10 n2 > 102 = 100

$\Rightarrow \left|u_n\right|=\left|\frac{1}{n^2}\right|=\frac{1}{n^2}<\frac{1}{100}$

$\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$.

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(v_n-a\right)=0$

Kí hiệu:  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=a$ hay vn → a khi n → +∞.

Ví dụ 2. Cho dãy số $v_n=\frac{-n-1}{3+2n}$. Chứng minh rằng $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=\frac{-1}{2}$.

Giải

Ta có $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(v_n+\frac{1}{2}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{-n-1}{3+2n}+\frac{1}{2}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }=\frac{1}{2\left(3+2n\right)}=0$

Do đó: $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=\frac{-1}{2}$.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=\mathrm{0,}\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=0$ với k nguyên dương;

b)  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n$ nếu |q| < 1;

c) Nếu un = c (c là hằng số) thì  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }c=c$.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho  $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ ta viết tắt là lim un = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

lim (un + vn) = a + b

lim (un – vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

$\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}$ (nếu $b\ne 0$)

Nếu  $u_n\ge 0$với mọi n và limun­ = a thì:

$\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$  và $a\ge 0.$

Ví dụ 3. Tính $\lim \left(n^2-\frac{2}{n+1}\right)$

Giải

$\lim \left(n^2-\frac{2}{n+1}\right)=\lim \frac{n^3+n^2-2}{n+1}=\lim \frac{1+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^3}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}}=\lim \left(1+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^3}\right):\lim \left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)$

$=\left(\lim 1+\lim \frac{1}{n}-\lim \frac{2}{n^3}\right):\left(\lim \frac{1}{n^2}+\lim \frac{1}{n^3}\right)$

$=+\infty$

Ví dụ 4. Tìm $\lim \frac{\sqrt{2+9n^2}}{1+4n}$

Giải

$\lim \frac{\sqrt{2+9n^2}}{1+4n}=\lim \frac{\sqrt{n^2\left(\frac{2}{n^2}+9\right)}}{n\left(\frac{1}{n}+4\right)}=\lim \frac{n\sqrt{\left(\frac{2}{n^2}+9\right)}}{n\left(\frac{1}{n}+4\right)}=\lim \frac{\sqrt{\left(\frac{2}{n^2}+9\right)}}{\frac{1}{n}+4}=\frac{3}{4}.$

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$S=u_1+u_2+u_3+\mathrm{...}+u_n+\mathrm{...}=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$

Ví dụ 5. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $1;-\frac{1}{2};\frac{1}{4};-\frac{1}{8};\mathrm{...};{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1};\mathrm{...}$

Giải

Ta có dãy số$1;-\frac{1}{2};\frac{1}{4};-\frac{1}{8};\mathrm{...};{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1};\mathrm{...}$  là một số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q=-\frac{1}{2}$.

Khi đó ta có: $S_n=\lim \left[1+\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)+\mathrm{...}+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\mathrm{...}\right]=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{3}.$

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim nk = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qn = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=0$

b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=+\infty$

c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì $\lim u_n.v_n=+\infty$.

Ví dụ 6. Tính $\lim \left(2^n+\frac{1}{n}\right)$.

Giải

$\lim \left(2^n+\frac{1}{n}\right)=\lim 2^n+\lim \frac{1}{n}$

Vì $\lim 2^n=+\infty$ và $\lim \frac{1}{n}=0$

$\Rightarrow \lim \left(2^n+\frac{1}{n}\right)=+\infty$