Hàm số  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^4+x}{x^2+x},khi x\ne 0,x\ne -1\\ 3,khi x=-1\\ 1,khi x=0\end{array}\right.$

I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và $x_0$ ∈ K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right).$

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x}{x-1}$ tại $x_0$ = 2.

Giải

Hàm số đã cho xác định trên $ℝ\backslash \left\{1\right\}$.

Do đó hàm số xác định trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$ chứa $x_0$ = 2. Khi đó ta có:

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x}{x-1}=\frac{4}{1}=4=f\left(2\right)$.

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại $x_0$ = 2.

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right).$

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Hàm số liên tục trên khoảng (a;b)

Hàm số không liên tục trên khoảng (a; b).

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1

 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực $ℝ$.

 b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0;

b) Hàm số $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$  liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.

Ví dụ 2. Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-2x-3}{x-3}khi\text{ x}\ne \text{3}\\ \text{4 khi x = 3}\end{array}\right.$ trên tập xác định của nó.

Giải

Tập xác định $D=ℝ$

- Nếu x = 3, ta có f(3) = 4,

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-2x-3}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\left(x+1\right)=4=f\left(3\right)$

Do đó f(x) liên tục tại x = 3.

- Nếu $x\ne 3$ thì $f\left(x\right)=\frac{x^2-2x-3}{x-3}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;3\right),\left(3;+\infty \right)$.

Vậy hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$.

Định lí 3

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b).

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x – 7 = 0 luôn có nghiệm.

Giải

Xét hàm f(x) = x5 – 3x – 7

Ta có: f(0) = - 7, f(2) = 19. Do đó f(0).f(2) = (-7).19 < 0.

Vì hàm số f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên . Do đó hàm số f(x) liên tục trên [0;2]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm $x_0\in \left(0;2\right)$.

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.