Cho mặt phẳng (P) có phương trình $x+3y-2z+1=0$ và mặt phẳng (Q) có phương trình $x+y+2z-1=0$. Trong các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng (Q), xác định mặt phẳng tạo với (P) góc có số đo lớn nhất.

I. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

1.  Định nghĩa:

Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì $\overrightarrow{n}$ được gọi là vecto pháp tuyến của (α)

2. Chú ý. Nếu là $\overrightarrow{n}$ vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì $k\overrightarrow{n}(k\ne 0)$ cũng là vecto pháp tuyến của  mặt phẳng đó. 

3. Tích có hướng của hai vectơ

- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và  $(\overrightarrow{b}$ kí hiệu là $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$, được xác định bởi

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(\left|\begin{array}{c}{a}_2 a_3\\ b_2 b_3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_3& a_1\\ b_3& b_1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|)=(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1)$

- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) và C(0; 1; -2).

Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}(-3;1;-1);\overrightarrow{AC}(-2;\mathrm{\hspace{0.17em}0};-3)$

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là :

$\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}]=(-3;-7;2)$.

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa.

- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Nhận xét.

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(A;B;C)$.

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x₀; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}(A;B;C)$  khác $\overrightarrow{0}$ là vecto pháp tuyến là: A(x- x₀ ) + B( y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Ví dụ 1. Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(2;-1;3)$.

Ví dụ 2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2; 1; 0); C ( -2; 1; 1)

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}(\mathrm{\hspace{0.17em}2};0;2);\overrightarrow{BC}(-4;0;1)$

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB};BC]=(0;-10;0)$

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) là:

0(x – 0) – 10(y – 1) + 0(z + 2) = 0 hay  y – 1 = 0.

2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) :  Ax + By + Cz + D =  0.

a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

b)

- Nếu $A=0,B\ne 0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

- Nếu $A\ne 0,B=0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

- Nếu $A\ne 0,B\ne 0,C=0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

c)

- Nếu  A = B = 0; $C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

- Nếu A = C = 0; $B\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

- Nếu B = C = 0; $A\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

- Nhận xét:

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $(\alpha \mathrm{ }):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với $abc\ne 0$.

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1). Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là:

$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=1$

III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:

(α): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

(β): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là:

$\overrightarrow{n_1}(A{}_1;B_1;C_1);\overrightarrow{n_2}(A{}_2;B_2;C_2)$

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

$\begin{array}{c}\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)\iff \{\begin{array}{c}\overrightarrow{n_1}=k.\overrightarrow{n_2}\\ D_1\ne k{D}_2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}(A_1;B_1;C_1)=k(A_2;B_2;C_2)\\ D_1\ne k{D}_2\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(\alpha \right)\equiv \left(\beta \right)\iff \{\begin{array}{c}\overrightarrow{n_1}=k.\overrightarrow{n_2}\\ D_1=k{D}_2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}(A_1;B_1;C_1)=k(A_2;B_2;C_2)\\ D_1=k{D}_2\end{array}\end{array}$

- Chú ý:  Để (α) cắt (β) $\iff \overrightarrow{n_1}\ne k.\overrightarrow{n_2}\mathrm{ }\iff (A_1;B_1;C_1)\ne k(A_2;B_2;C_2)$.

Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0.

Lời giải:

Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 nên $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;-1;2)$

Mặt phẳng (α) đi qua A(2;1; 2) nên có phương trình:

1( x – 2) – 1(y – 1) + 2( z – 2) = 0 hay x – y + 2z – 5 = 0.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.

$\begin{array}{c}\left(\alpha \right)\perp \left(\beta \right)\iff \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}\iff A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0\end{array}$

Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0

Lời giải:

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: $\overrightarrow{n_Q}=(1;-1;2)$

Và $\overrightarrow{AB}(1;1;-2)$

Vì $\overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{n_Q};\overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{n_Q};\overrightarrow{AB}]=(0;4;2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x – 1) + 4(y – 0) + 2(z – 1) = 0 hay 4y – 2z – 2 = 0

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .

Khi đó khoảng cách từ điểm M₀ đến mặt phẳng (α) được tính:

$d(M_0,\left(\alpha \right))=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Ví dụ 6. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0.

Lời giải:

Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có:

$d(M;\left(P\right))=\frac{|2.2-3+2.0+1|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{\mathrm{\hspace{0.17em}2}}^2}}=\frac{2}{3}$

$d(N;\left(P\right))=\frac{|2.1-1+2.1+1|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{\mathrm{\hspace{0.17em}2}}^2}}=\frac{4}{3}$

Ví dụ 7. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương trình: (P): x – 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 7= 0.

Lời giải:

Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P).

Ta có: $d(\left(P\right);\left(Q\right))=d(A;\left(Q\right))=\frac{|-3-2.0+2.0-7|}{\sqrt{1^2+{(-2)}^2+{\mathrm{\hspace{0.17em}2}}^2}}=\frac{10}{3}$.