Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng . Tìm các giá trị của m để và (S) không có điểm chung.
A. m < -9 hoặc m > 21
B. -9 < m < 21
C.
D.
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu , với a, b, c đều là các số thực dương. Biết mặt cầu (S) cắt 3 mặt phẳng tọa độ theo các giao tuyến là các đường tròn có bán kính bằng và mặt cầu (S) đi qua . Tính a+b+c
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): và điểm . Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là:
Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình và điểm B(1;1;-9). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử là vec tơ pháp tuyến của (P). Lúc đó:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và mặt cầu . Giả sử và sao cho cùng phương với vec tơ và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN
Trong không gian Oxyz, cho I(2;1;1) và mặt phẳng . Mặt cầu (S) có tâm I cắt (P) theo một đường tròn có bán kính r = 4. Phương trình của mặt cầu (S) là:
Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;-5) cắt mặt phẳng theo thiết diện là hình tròn có diện tích . Phương trình của (S) là:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng . Tìm tất cả m để (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-2;3). Gọi (S) là mặt cầu chứa A, có tâm I thuộc tia Ox và bán kính 7. Phương trình mặt cầu (S) là:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(-1;0;2) và đi qua điểm A(0;1;1). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cắt mặt cầu (S) tâm I(1;-3;3) theo giao tuyến là đường tròn tâm H(2;0;1), bán kính r = 2. Phương trình (S) là:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: . Gọi là đường thẳng đi qua điểm và có vec tơ chỉ phương . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi đường thẳng d và có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm với . Biết rằng (ABC) đi qua điểm và tiếp xúc với mặt cầu . Tính
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng . Gọi M(a;b;c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu . Tiếp diện của (S) tại điểm có phương trình là:
1. Hệ tọa độ trong không gian
1.1. Tọa độ của điểm và của vecto
1.1.1. Hệ tọa độ
Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng
đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian,
hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.
- Vì là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:
.
1.1.2. Tọa độ của một điểm
- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto không đồng
phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:
- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức .
- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).
1.1.3. Tọa độ của vecto
- Trong không gian Oxyz cho vecto , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1; a2 ; a3) sao cho .
Ta gọi bộ ba số (a1; a2 ; a3) là tọa độ của vecto đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết = (a1; a2 ; a3) hoặc (a1; a2 ; a3).
- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto .
Ta có: M(x; y; z)
1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto
- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto
, ta có:
a)
b) ;
c) .
Ví dụ 1. Cho
a) Tính ;
b) ;
c) .
Lời giải:
a) ;
b) Ta có: = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).
c) Ta có: = ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)
- Hệ quả:
a) Cho hai vecto , ta có:
.
b) Vecto có tọa độ ( 0; 0; 0).
c) Với thì hai vecto cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:
d) Cho
+
+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
Ví dụ 2. Cho . Tìm m và n để
Lời giải:
Để
Vậy m = 2 và n = 1.
Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?
a) ;
b) .
Lời giải:
a) Ta thấy
Do đó, hai vecto trên không cùng phương.
b) Ta thấy: nên hai vecto trên cùng phương.
Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).
a) Tính ;
b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.
Lời giải:
a) Ta có: = ( -1 + 3; 0 - 4; 8 -0) = ( 2; -4; 8).
b) Tọa độ trung điểm M của AB là:
1.3. Tích vô hướng.
1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
- Định lí:
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto được xác định bởi công thức:
Ví dụ 5. Cho . Tính ?
Lời giải:
Ta có: = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1
1.3.2. Ứng dụng
a) Độ dài của một vecto.
Cho vecto .
Ta biết rằng: hay . Do đó,
b) Khoảng cách giữa hai điểm.
Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA)
và B(xB; yB ; zB). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của
vecto . Do đó, ta có:
.
c) Góc giữa hai vecto.
Nếu là góc góc giữa hai vecto và với thì
Từ đó, suy ra
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).
a) Tính AB; AC
b) Tính cosin của góc A.
Lời giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
Cosin của góc A là:
1.4. Phương trình mặt cầu
- Định lí.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:
( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2
- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2
Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính .
Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:
a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - 1 = 0;
b) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + 2 = 0
Lời giải:
a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1
Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính