Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): và mặt phẳng . Tìm m để (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính lớn nhất.
A. m = 4
B. m = 4
C. m = 7
D. m = 0
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 200k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu . Phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 2 là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua điểm A(1;-1;4) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính P=a-b+c
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng ,, . Một đường thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng lần lượt tại các điểm A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Đường vuông góc chung của và lần lượt cắt tại A và B. Diện tích tam giác OAB bằng:
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm và mặt cầu . Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vec tơ là:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và hai điểm . Gọi là đường thẳng qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B đến là nhỏ nhất. Gọi là một vec to chỉ phương của . Khi đó, bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu . Qua d dựng các mặt phẳng tiếp xúc với (S) lần lượt tại . Tìm tọa độ trung điểm H của
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có tâm có bán kính bằng 4 và mặt cầu có tâm có bán kính bằng 2. (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu . Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến (P). Giá trị M + m bằng?
Trong không gian Oxyz, cho A(-4;7;5) và hai đường thẳng . Đường thẳng d đi qua A đồng thời cắt có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng , và . Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng (P); (Q); (R) lần lượt tại A, B, C. Đặt . Tìm giá trị nhỏ nhất của T.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm . Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và điểm N là điểm trên tia OM sao cho . Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm và mặt phẳng . Biết rằng tồn tại điểm B trên tia AM, điểm C trên (P) và điểm D trên tia AN sao cho tứ giác ABCD là hình thoi. Tọa độ điểm C là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm . Điểm thuộc mặt phẳng (Oxyz) sao cho nhỏ nhất. Tính
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho nhỏ nhất
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;0;1), B(3;2;1). Gọi C(5;3;7) thỏa mãn MA = MB và MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P = a + b + c
1. Hệ tọa độ trong không gian
1.1. Tọa độ của điểm và của vecto
1.1.1. Hệ tọa độ
Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng
đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.
Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian,
hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.
Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.
- Vì là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:
.
1.1.2. Tọa độ của một điểm
- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto không đồng
phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:
- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức .
- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).
1.1.3. Tọa độ của vecto
- Trong không gian Oxyz cho vecto , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1; a2 ; a3) sao cho .
Ta gọi bộ ba số (a1; a2 ; a3) là tọa độ của vecto đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết = (a1; a2 ; a3) hoặc (a1; a2 ; a3).
- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto .
Ta có: M(x; y; z)
1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto
- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto
, ta có:
a)
b) ;
c) .
Ví dụ 1. Cho
a) Tính ;
b) ;
c) .
Lời giải:
a) ;
b) Ta có: = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).
c) Ta có: = ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)
- Hệ quả:
a) Cho hai vecto , ta có:
.
b) Vecto có tọa độ ( 0; 0; 0).
c) Với thì hai vecto cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:
d) Cho
+
+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
Ví dụ 2. Cho . Tìm m và n để
Lời giải:
Để
Vậy m = 2 và n = 1.
Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?
a) ;
b) .
Lời giải:
a) Ta thấy
Do đó, hai vecto trên không cùng phương.
b) Ta thấy: nên hai vecto trên cùng phương.
Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).
a) Tính ;
b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.
Lời giải:
a) Ta có: = ( -1 + 3; 0 - 4; 8 -0) = ( 2; -4; 8).
b) Tọa độ trung điểm M của AB là:
1.3. Tích vô hướng.
1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
- Định lí:
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto được xác định bởi công thức:
Ví dụ 5. Cho . Tính ?
Lời giải:
Ta có: = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1
1.3.2. Ứng dụng
a) Độ dài của một vecto.
Cho vecto .
Ta biết rằng: hay . Do đó,
b) Khoảng cách giữa hai điểm.
Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA)
và B(xB; yB ; zB). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của
vecto . Do đó, ta có:
.
c) Góc giữa hai vecto.
Nếu là góc góc giữa hai vecto và với thì
Từ đó, suy ra
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).
a) Tính AB; AC
b) Tính cosin của góc A.
Lời giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
Cosin của góc A là:
1.4. Phương trình mặt cầu
- Định lí.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:
( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2
- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2
Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính .
Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:
a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - 1 = 0;
b) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + 2 = 0
Lời giải:
a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1
Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính