IMG-LOGO

Câu hỏi:

18/07/2024 1,109

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=(x-6)2 và y=6x-x2 là:

A. 9

Đáp án chính xác

B. 92

C. 0

D. Kết quả khác

 Xem lời giải  Xem lý thuyết

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Chọn A 

Phương trình hoành độ giao điểm:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = (e + 1)x và y=(1+ex)x là:

Xem đáp án » 11/03/2022 2,921

Câu 2:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong: y=x2+1, tiếp tuyến với đường cong này tại M(2;5) và trục Oy là:

Xem đáp án » 11/03/2022 1,111

Câu 3:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ay = x2 và ax = y2 là:

Xem đáp án » 11/03/2022 832

Câu 4:

Tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Oy sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2, y = 4 , y=x22

Xem đáp án » 11/03/2022 631

Câu 5:

Tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, y=cos6x+sin6x, x = 0, x=π2

Xem đáp án » 11/03/2022 569

Câu 6:

Tìm I=x2cosxdx

Xem đáp án » 11/03/2022 479

Câu 7:

Một vật chuyển động với vận tốc v(t)=1,2+t2+4t+3m/s. Quãng đường vật đi được sau 4s xấp xỉ bằng:

Xem đáp án » 11/03/2022 445

Câu 8:

Cho tích phân I = 02004π 1-cos2x dx. Phát biểu nào sau đây là sai

Xem đáp án » 11/03/2022 439

Câu 9:

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=sinxcos2x là 

Xem đáp án » 11/03/2022 362

Câu 10:

Tìm 5x+1x2-6x+9dx. 

Xem đáp án » 11/03/2022 329

Câu 11:

Trong những phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

Xem đáp án » 11/03/2022 328

Câu 12:

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và y = xsinx với (0 ≤ x ≤ π) là:

Xem đáp án » 11/03/2022 326

Câu 13:

Tìm I=(3ln2x-4lnx+2)dxx

Xem đáp án » 11/03/2022 323

Câu 14:

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tanx, y = 0, x = 0, x = π3 quanh Ox là:

Xem đáp án » 11/03/2022 289

Câu 15:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=x2 và y = 2x là:

Xem đáp án » 11/03/2022 285

LÝ THUYẾT

1. Nguyên hàm và tính chất

1.1 Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R. 

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi xK.

Ví dụ.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng (-;+) vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với x(-;+).

- Hàm số F(x)=x+ 2x-3 là một nguyên hàm của hàm số f(x)=-5(x-3)2 trên khoảng (-;  3)(3;+)  

F'(x)=(x+ 2x-3)'=-5(x-3)2=f(x) với x(-;  3)(3;+).

 - Định lí 1.

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x)+C;CR là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: f(x)𝑑x=F(x)+C .

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ.

a) Với x(-;+) ta có: ∫x3𝑑x=x44+C;

b) Với x(-;+) ta có: ∫ex𝑑x=ex+C;

c) Với x(0;+) ta có: 12x𝑑x=x+C.

1.2 Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

∫f'(x)𝑑x=f(x)+C

Ví dụ.

(4x)'𝑑x=∫4x.ln4.dx=  4x+C

- Tính chất 2.

kf(x)𝑑x=k.f(x)𝑑x  (k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

[f(x)±g(x)]𝑑x=f(x)𝑑x±g(x)𝑑x.

Ví dụ. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=  3x2+  2sinx trên khoảng (-;+).

Lời giải:

Với x(-;+) ta có:

(3x2+ 2sinx)𝑑x=3x2𝑑x+  2sinxdx=x3+ 2.(-cosx) +C = x3-2cosx +C

1.3 Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ.

a) Hàm số y=x có nguyên hàm trên khoảng (0;+).

x𝑑x=∫x12𝑑x=23x32+C=23xx+C

b) Hàm số y = 1x có nguyên hàm trên khoảng (-;  0)(0;+)

1x𝑑x=ln|x|+C

1.4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

0𝑑x=C

∫axdx=axlna+C(a> 0;a1)

𝑑x=x+C

cosxdx = sinx +C

∫xαdx=1α + 1xα +1+C(α  -1) sinxdx=-cosx+C

1x𝑑x=ln|x|+C

1cos2x𝑑x=tanx+C

∫ex𝑑x=ex+C

1sin2x𝑑x=-cotx+C

 

Ví dụ. Tính:

a) (3x4+x3)𝑑x

b) (5ex- 4x+ 2)𝑑x

Lời giải:

a)

 (3x4+x3)𝑑x=3x4𝑑x+x3𝑑x=  3x4𝑑x+∫x13𝑑x

=  3.x55+34.x43+C=3x55+3xx34+C

 

b) (5ex- 4x+ 2)𝑑x

= 5ex𝑑x-  16.∫ 4x𝑑x=  5.ex-16.4xln4+C

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

2. Phương pháp tính nguyên hàm.

2.1  Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu f(u)𝑑u=F(u)+C  và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

f(u(x)).u'(x)dx=F(u(x))+C.

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

f(ax+b)𝑑x=1aF(ax+b)+C.

Ví dụ. Tính (3x+ 2)3𝑑x.

Lời giải:

Ta có: ∫u3𝑑u=u44+C nên theo hệ quả ta có:

(3x+ 2)3𝑑x=(3x+2)44+C.

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ. Tính sinx.cos2xdx.

Lời giải:

Đặt u = cosx. Suy ra: du = – sinx. dx

Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:

∫u2.(-du)= -∫u2𝑑u =-u33+C

Thay u = cosx vào kết quả ta được:

sinx.cos2xdx=-cos3x3+C.

2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

u(x).v'(x).dx=u(x).v(x)-u'(x).v(x)dx.

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

 

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ. Tính

a) xlnxdx;

b) xsinxdx;

c) (5-x).exdx

Lời giải:

a) xlnxdx

Đặt {u=lnxdv=xdx{du=1xdxv=x22

Ta có:

 xlnxdx=x22.lnx-x22.1xdx

=x22.lnx-12x𝑑x=x22.lnx-12.x22+C

=x22.lnx-x24+C.

b) xsinxdx;

Đặt {u=xdv=sinxdx{du=dxv=-cosx

Khi đó:

xsinxdx=-x.cosx +cosxdx= -x.cosx +sinx + C

c) (5-x).exdx

Đặt {u=5-xdv=exdx{du= -dxv=ex

Khi đó:

(5-x).exdx=(5-x).ex--exdx

=(5-x).ex+∫ex𝑑x

=(5-x).ex+ex+C.

3. Khái niệm tích phân

3.1 Diện tích hình thang cong

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.

                                      Ôn tập Toán 12 Chương 3 (ảnh 1)

- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a;  x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x),  trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

Với mỗi x[a;b], kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.

Ôn tập Toán 12 Chương 3 (ảnh 1)

 

Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) +  C.

Vì S(a) = 0 nên F(a) +  C = 0  hay C =    F(a).

Vậy S(x) = F(x) – F(a).

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:

S(b) = F(b) – F(a).

3.2 Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu abf(x)𝑑x.

Ta còn dùng kí hiệu F(x)|ab

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »