Thứ sáu, 01/11/2024
IMG-LOGO

Câu hỏi:

18/07/2024 194

Biết tich phân I=01xe2xdx=ae2+b (a, b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a + b là:

A. 12

Đáp án chính xác

B. 14 

C. 1

D. 0

 Xem lời giải  Xem lý thuyết

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Câu trả lời này có hữu ích không?

0

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hàm số y=f(x) biết f0=12 và f'(x)=xex2 với mọi x thuộc R. Khi đó 01xf(x)dx bằng:

Xem đáp án » 12/03/2022 2,431

Câu 2:

Cho hai hàm số fx=ax3+bx2+cx+34gx=dx2+ex34a,b,c,dR. Biết rằng đồ thị của hàm số y=f(x) và y=g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –2; 1; 3 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị đã cho có diện tích bằng:

Xem đáp án » 12/03/2022 1,610

Câu 3:

Cho fx=xcos2x trên π2;π2 và F(x) là một nguyên hàm của hàm số xf(x) thỏa mãn F(0)=0. Biết aπ2;π2 thỏa mãn tana=3. Tính Fa10a2+3a

Xem đáp án » 12/03/2022 1,301

Câu 4:

Cho hàm số f(x) xác định trên R\±1 thỏa mãn f'x=1x21. Biết f3+f3=0 và f12+f12=2. Giá trị T=f2+f0+f4 bằng:

Xem đáp án » 12/03/2022 1,287

Câu 5:

Biết 0π4x.cos2xdx=a+bπ với a, b là các số hữu tỉ. Tính S = a + 2b

Xem đáp án » 12/03/2022 450

Câu 6:

Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện 4x.fx2+3f1x=1x2. Tích phân I=01fxdx bằng

Xem đáp án » 12/03/2022 389

Câu 7:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f2=15 và f'x=x3fx2 với mọi xR. Giá trị của f(1) bằng

Xem đáp án » 12/03/2022 318

Câu 8:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn 01f(x)dx=3 và f(1)=4. Tích phân 01xf'(x)dx có giá trị là:

Xem đáp án » 12/03/2022 261

Câu 9:

Cho tích phân I=0π2exsinxdx. Gọi a, b là các số nguyên thỏa mãn I=eπ2+ab. Chọn kết luận đúng:

Xem đáp án » 12/03/2022 256

Câu 10:

Cho f(x) liên tục trên R và f2=16,01f2xdx=2. Tích phân 02xf'xdx bằng

Xem đáp án » 12/03/2022 241

Câu 11:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f2=2,02fxdx=1. Tính tích phân I=04f'xdx

Xem đáp án » 12/03/2022 234

Câu 12:

Tích phân 0π(3x+2)cos2xdx bằng

Xem đáp án » 12/03/2022 233

Câu 13:

Cho nửa đường tròn đường kính AB=45. Trên đó người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính vuông góc với AB. Parabol cắt nửa đường tròn tại hai điểm cách nhau 4cm và khoảng cách từ hai điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4cm. Sau đó người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần gạch chéo trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung quanh trục AB. Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng:

Xem đáp án » 12/03/2022 224

Câu 14:

Cho I=01x+x2+15dx=a+bln3+cln5 với a,b,c thuộc Q. Tính tổng a+b+c

Xem đáp án » 12/03/2022 218

Câu 15:

Cho tích phân I=π4π2ln(3sinx+cosx)sin2xdx=m.ln2+n.ln3-π4, tổng m + n:

Xem đáp án » 12/03/2022 215

LÝ THUYẾT

1. Nguyên hàm và tính chất

1.1 Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R. 

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi xK.

Ví dụ.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng (-;+) vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với x(-;+).

- Hàm số F(x)=x+ 2x-3 là một nguyên hàm của hàm số f(x)=-5(x-3)2 trên khoảng (-;  3)(3;+)  

F'(x)=(x+ 2x-3)'=-5(x-3)2=f(x) với x(-;  3)(3;+).

 - Định lí 1.

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x)+C;CR là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: f(x)𝑑x=F(x)+C .

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ.

a) Với x(-;+) ta có: ∫x3𝑑x=x44+C;

b) Với x(-;+) ta có: ∫ex𝑑x=ex+C;

c) Với x(0;+) ta có: 12x𝑑x=x+C.

1.2 Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

∫f'(x)𝑑x=f(x)+C

Ví dụ.

(4x)'𝑑x=∫4x.ln4.dx=  4x+C

- Tính chất 2.

kf(x)𝑑x=k.f(x)𝑑x  (k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

[f(x)±g(x)]𝑑x=f(x)𝑑x±g(x)𝑑x.

Ví dụ. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=  3x2+  2sinx trên khoảng (-;+).

Lời giải:

Với x(-;+) ta có:

(3x2+ 2sinx)𝑑x=3x2𝑑x+  2sinxdx=x3+ 2.(-cosx) +C = x3-2cosx +C

1.3 Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ.

a) Hàm số y=x có nguyên hàm trên khoảng (0;+).

x𝑑x=∫x12𝑑x=23x32+C=23xx+C

b) Hàm số y = 1x có nguyên hàm trên khoảng (-;  0)(0;+)

1x𝑑x=ln|x|+C

1.4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

0𝑑x=C

∫axdx=axlna+C(a> 0;a1)

𝑑x=x+C

cosxdx = sinx +C

∫xαdx=1α + 1xα +1+C(α  -1) sinxdx=-cosx+C

1x𝑑x=ln|x|+C

1cos2x𝑑x=tanx+C

∫ex𝑑x=ex+C

1sin2x𝑑x=-cotx+C

 

Ví dụ. Tính:

a) (3x4+x3)𝑑x

b) (5ex- 4x+ 2)𝑑x

Lời giải:

a)

 (3x4+x3)𝑑x=3x4𝑑x+x3𝑑x=  3x4𝑑x+∫x13𝑑x

=  3.x55+34.x43+C=3x55+3xx34+C

 

b) (5ex- 4x+ 2)𝑑x

= 5ex𝑑x-  16.∫ 4x𝑑x=  5.ex-16.4xln4+C

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

2. Phương pháp tính nguyên hàm.

2.1  Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu f(u)𝑑u=F(u)+C  và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

f(u(x)).u'(x)dx=F(u(x))+C.

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

f(ax+b)𝑑x=1aF(ax+b)+C.

Ví dụ. Tính (3x+ 2)3𝑑x.

Lời giải:

Ta có: ∫u3𝑑u=u44+C nên theo hệ quả ta có:

(3x+ 2)3𝑑x=(3x+2)44+C.

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ. Tính sinx.cos2xdx.

Lời giải:

Đặt u = cosx. Suy ra: du = – sinx. dx

Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:

∫u2.(-du)= -∫u2𝑑u =-u33+C

Thay u = cosx vào kết quả ta được:

sinx.cos2xdx=-cos3x3+C.

2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

u(x).v'(x).dx=u(x).v(x)-u'(x).v(x)dx.

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

 

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ. Tính

a) xlnxdx;

b) xsinxdx;

c) (5-x).exdx

Lời giải:

a) xlnxdx

Đặt {u=lnxdv=xdx{du=1xdxv=x22

Ta có:

 xlnxdx=x22.lnx-x22.1xdx

=x22.lnx-12x𝑑x=x22.lnx-12.x22+C

=x22.lnx-x24+C.

b) xsinxdx;

Đặt {u=xdv=sinxdx{du=dxv=-cosx

Khi đó:

xsinxdx=-x.cosx +cosxdx= -x.cosx +sinx + C

c) (5-x).exdx

Đặt {u=5-xdv=exdx{du= -dxv=ex

Khi đó:

(5-x).exdx=(5-x).ex--exdx

=(5-x).ex+∫ex𝑑x

=(5-x).ex+ex+C.

3. Khái niệm tích phân

3.1 Diện tích hình thang cong

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.

                                      Ôn tập Toán 12 Chương 3 (ảnh 1)

- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a;  x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x),  trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

Với mỗi x[a;b], kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.

Ôn tập Toán 12 Chương 3 (ảnh 1)

 

Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) +  C.

Vì S(a) = 0 nên F(a) +  C = 0  hay C =    F(a).

Vậy S(x) = F(x) – F(a).

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:

S(b) = F(b) – F(a).

3.2 Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu abf(x)𝑑x.

Ta còn dùng kí hiệu F(x)|ab

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »
Xem thêm »