Biết tich phân (a, b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a + b là:
A.
B.
C. 1
D. 0
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hai hàm số và . Biết rằng đồ thị của hàm số y=f(x) và y=g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là –2; 1; 3 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị đã cho có diện tích bằng:
Cho trên và F(x) là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn F(0)=0. Biết thỏa mãn . Tính
Cho hàm số f(x) xác định trên thỏa mãn . Biết và . Giá trị bằng:
Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn điều kiện . Tích phân bằng
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn và f(1)=4. Tích phân có giá trị là:
Cho tích phân . Gọi a, b là các số nguyên thỏa mãn . Chọn kết luận đúng:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn . Tính tích phân
Cho nửa đường tròn đường kính . Trên đó người ta vẽ một parabol có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn, trục đối xứng là đường kính vuông góc với AB. Parabol cắt nửa đường tròn tại hai điểm cách nhau 4cm và khoảng cách từ hai điểm đó đến AB bằng nhau và bằng 4cm. Sau đó người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol (phần gạch chéo trong hình vẽ). Đem phần còn lại quay xung quanh trục AB. Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng:
1. Nguyên hàm và tính chất
1.1 Nguyên hàm.
- Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi .
Ví dụ.
- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với .
- Hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng
Vì với .
- Định lí 1.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
- Định lí 2.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Do đó là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.
Kí hiệu: .
- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.
Ví dụ.
a) Với ta có: ;
b) Với ta có: ;
c) Với ta có: .
1.2 Tính chất của nguyên hàm
- Tính chất 1.
Ví dụ.
- Tính chất 2.
(k là hằng số khác 0).
- Tính chất 3.
Ví dụ. Tìm nguyên hàm của hàm số trên khoảng
Lời giải:
Với ta có:
1.3 Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Ví dụ.
a) Hàm số có nguyên hàm trên khoảng .
b) Hàm số y = có nguyên hàm trên khoảng
1.4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Ví dụ. Tính:
a)
b)
Lời giải:
a)
b)
- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
2. Phương pháp tính nguyên hàm.
2.1 Phương pháp đổi biến số
- Định lí 1.
Nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:
Ví dụ. Tính
Lời giải:
Ta có: nên theo hệ quả ta có:
Chú ý:
Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).
Ví dụ. Tính
Lời giải:
Đặt u = cosx. Suy ra: du = – sinx. dx
Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:
Thay u = cosx vào kết quả ta được:
2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
- Định lí 2.
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
- Chú ý.
Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:
Đó là công thức nguyên hàm từng phần.
Ví dụ. Tính
a) ;
b) ;
c)
Lời giải:
a)
Đặt
Ta có:
b) ;
Đặt
Khi đó:
c)
Đặt
Khi đó:
3. Khái niệm tích phân
3.1 Diện tích hình thang cong
- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.
- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:
Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].
Với mỗi , kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.
Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) + C.
Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = – F(a).
Vậy S(x) = F(x) – F(a).
Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:
S(b) = F(b) – F(a).
3.2 Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu
Ta còn dùng kí hiệu