Cho số phức z thỏa mãn $\left|z^2-2z+5\right|=\left|\left(z-1+2i\right)\left(z+3i-1\right)\right|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\left|w\right|$ với $w=z-2+2i$.

1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi, ta có:

$z+\overline{z}$= (a + bi) + (a – bi) = 2a;

$z.\overline{z}$ = (a + bi). (a – bi) = a² – (bi)² = a² + b² = ${\left|z\right|}^2$

Do đó:

+ Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.

+ Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.

Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.

2. Phép chia hai số phức

Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho

 c + di = (a + bi).z. Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là: $z=\frac{c+di}{a+bi}.$

Ví dụ 1. Thực hiện phép chia 4 – 6i cho 1 + i.

Lời giải:

Giả sử $z=\frac{4-6i}{1+i}.$

Theo định nghĩa ta có: (1 + i).z = 4 – 6i.

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của 1 + i ta được:

(1 – i) .(1 + i).z = (1 – i).(4 – 6i)

Suy ra: 2z = – 2 – 10i

Do đó, z = –1 – 5i

Vậy $\frac{4-6i}{1+i}=-1-5i.$

– Tổng quát:

Giả sử $z=\frac{c+di}{a+bi}$. Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có:

(a + bi).z = c + di

Nhân cả hai vế vơí số phức liên hợp của a + bi, ta được:

(a – bi)(a + bi).z = (a – bi)(c + di)

Hay (a² + b²).z = (ac + bd) + (ad – bc).i

Nhân cả hai vế với số thực $\frac{1}{a^2+b^2}$ ta được:

$z=\frac{1}{a^2+b^2}.[(ac+bd)+(ad-bc)i]$

Vậy $\frac{c+di}{a+bi}=\frac{ac+bd}{a^2+b^2}+\frac{ad-bc}{a^2+b^2}.i$

– Chú ý. Trong thực hành để tính thương $\frac{c+di}{a+bi}$, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi.

Ví dụ 2. Thực hiện phép chia 2 – 4i cho 2 + i.

Lời giải:

$\frac{2-4i}{2+i}=\frac{(2-4i).(2-i)}{(2+i)(2-i)}$

$=\frac{[2.2-(-4).(-1)]+[2.(-1)+(-4).2]i}{2^2+{\mathrm{\hspace{0.17em}1}}^2}$

$=\frac{-10i}{5}=-2i.$