Xét hai câu sau:

(1) Hàm số $y=\frac{\left|x\right|}{x+1}$ liên tục tại x= 0.              

(2) Hàm số $y=\frac{\left|x\right|}{x+1}$ có đạo hàm tại x=0 .

Trong hai câu trên:

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) : $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$  thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là f'(x0). Vậy $\boxed{f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}.}$

* Chú ý:

Đại lượng ∆x = x- $x_0$ được gọi là số gia của đối số tại x0.

Đại lượng ∆y= f(x) – f(x0)= f(x0 + ∆x) –  f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy: $y\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to \infty }{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại $x_0$ tính:

∆y= f(x0 + ∆x) – f( x0) .

+ Bước 2: Lập tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}.$.

+ Bước 3: Tìm $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=\sqrt{2x-3}$, có $\Delta x$ là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ bằng bao nhiêu.

Lời giải

Tập xác định của hàm số đã cho là: $D=\left[\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có:

$\Delta y=f\left(2+\Delta x\right)-f\left(2\right)=\sqrt{2.\left(2+\Delta x\right)-3}-\sqrt{2.2-3}=\sqrt{2\Delta x+1}-1$

Khi đó: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{2\Delta x+1}-1}{\Delta x}$

$\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2\Delta x+1}-1}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{2\Delta x+1}-1\right).\left(\sqrt{2\Delta x+1}+1\right)}{\Delta x.\left(\sqrt{2\Delta x+1}+1\right)}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2\Delta x}{\Delta x.\left(\sqrt{2\Delta x+1}+1\right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2\Delta x+1}+1}=1$

Vậy f’(2) = 1.

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}khix\ge 0\\ xkhix<0\end{array}\right.$ liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị gãy tại điểm O(0;0) như hình vẽ sau:

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0) trong đó y0= f(x0).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3 – 3x2 + 2 tại điểm có hoành độ x = 3.

Lời giải

Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = 9.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là 9.

Ta có: y(3) = 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x = 3 là:

y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.

b) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

+) Vận tốc tức thời:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0: v(t0) = s’(t0).

+) Cường độ tức thời:

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0: I(t0) = Q’(t0) .

Ví dụ 4. Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t2 + 6t+ 10 trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3.

Lời giải

Phương trình vận tốc của xe là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)

⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là:

V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)

Chọn A.

II. Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó ta gọi hàm số f’:$\left(a;b\right)\to ℝ$

$x\mapsto f\text{'}\left(x\right)$

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

Ví dụ 5. Hàm số y = x2 – 2x có đạo hàm y’ = 2x – 2 trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

Hàm số $y=\frac{2}{x}$ có đạo hàm $y\text{'}=-\frac{2}{x^2}$ trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(0;+\infty \right)$.