Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét đường thẳng $∆$ đi qua điểm $A\left(0;0;1\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(Ozx\right)$. Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm $B\left(0;4;0\right)$ tới điểm C trong đó C là điểm cách đều đường thẳng $∆$ và trục Ox.

Có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn $2C_{n+1}^2+3A_n^2-20<0$ ?

Biết rằng đường Parabol $\left(P\right): y^2=2x$ chia đường tròn $\left(C\right):\hspace{0.17em}{x}^2+y^2=8$ thành hai phần lần lượt có diện tích là $S_1,S_2$ (hình bên). Khi đó $S_2-S_1=a\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$ với a, b, c nguyên dương và  là phân số tối giản. Tổng $a+b+c$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm $A\left(1;-2;0\right), B\left(1;0;-1\right), C\left(0;-1;2\right)$ và $D\left(0;m;p\right)$. Hệ thức giữa m và p để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng là

Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$. Gọi M là trung điểm của AD và $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng (BMC') và (ABB'A'). Khẳng định nào dưới dây đúng? 

Công ty của ông Bình dự định đóng một thùng phi hình trụ (có đáy dưới và nắp đậy phía trên) bằng thép không rỉ để đựng nước. Chi phí trung bình cho $1m^2$ thép không rỉ là 350000 đồng. Với chi phí không quá 6594000 đồng, hỏi công ty ông Bình có thể có được một thùng phi đựng được tối đa bao nhiêu tấn nước? (Lấy $\mathrm{\pi }=3,14$)

Nếu cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có công sai là d thì dãy số $\left(v_n\right)$ với $v_n=u_n+13$ là một cấp số cộng có công sai là

Cho a, b là các số thực dương khác 1. Các hàm số $y=a^x$ và $y=b^x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng bất kỳ song song với trục hoành và cắt đồ thị hàm số $y=a^x$, $y=b^x$, trục tung lần lượt tại M, N, A đều thỏa mãn AN = 2AM. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm bậc ba $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình. Đồ thị hàm số $g\left(x\right)=\frac{\sqrt{f\left(x\right)}}{{\left(x+1\right)}^2\left(x^2-4x+3\right)}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc $v\left(km/h\right)$ phụ thuộc thời gian $t\left(h\right)$ có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường Parabol có đỉnh I(2;9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đuờng s mà vật chuyển động trong 4 giờ đó.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $∆:\frac{x-10}{5}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{1}$. Xét mặt phẳng $\left(P\right): 10x+2y+mz+11=0$ với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng $∆$

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức $w=\frac{1}{iz}$ là một trong bốn điểm M, N, P, Q. Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là

Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm $M\left(x;y\right)$ biểu diễn của số phức $z=x+yi\left(x;y\in \mathrm{ℝ}\right)$ thỏa mãn $\left|z+1+3i\right|=\left|z-2-i\right|$ là

Mặt phẳng $\left(AB\text{'}C\text{'}\right)$ chia khối lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ thành các khối đa diện nào?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=a, AD=2a$. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SD với đáy bằng $60°$. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) bằng

Tìm tập nghiệm S của phương trình ${\log }_{\sqrt{2}}\left(x-1\right)+{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)=1$