Tìm \(m\) để phương trình \({x^6} + 6{x^4} - {m^2}{x^3} + \left( {15 - 3{m^2}} \right){x^2} - 6mx + 10 = 0\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \[\left[ {\frac{1}{2};2} \right]?\]
A.\(2 < m \le \frac{5}{2}.\)
B.\(\frac{{11}}{5} < m < 4.\)
C.\(\frac{7}{5} \le m < 3.\)
D. \(0 < m < \frac{9}{4}.\)
Giải bởi Vietjack
Phương trình đã cho tương đương với
\(\left( {{x^6} + 6{x^4} + 12{x^2} + 8} \right) - \left( {{m^3}{x^3} + 2{m^2}{x^2} + 3mx + 1} \right) + \left( {3{x^2} - 3mx + 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^3} - {\left( {mx + 1} \right)^3} + 3\left( {{x^2} - mx + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - mx + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2} + \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {mx + 1} \right) + {{\left( {mx + 1} \right)}^2} + 3} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - mx + 1 = 0\) (Vì \({a^2} + ab + {b^2} = {\left( {a + \frac{1}{2}b} \right)^2} + \frac{3}{4}{b^2} \ge 0,\forall a,b).\)
\( \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = m\) (Do \(x = 0\) không thỏa mãn phương trình này).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) Ta có:
\(f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \notin \left( {\frac{1}{2};2} \right)\\x = 1 \in \left( {\frac{1}{2};2} \right)\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên
![Tìm \(m\) để phương trình \({x^6} + 6{x^4} - {m^2}{x^3} + \left( {15 - 3{m^2}} \right){x^2} - 6mx + 10 = 0\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \[\left[ {\frac{1}{2};2} \right]?\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/04/blobid0-1649530650.png)
Từ bảng biến thiên trên suy ra để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thỏa mãn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\) thì \(2 < m \le \frac{5}{2}.\)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Tìm điều kiện của tham số \(b\) để hàm số \(y = {x^4} + b{x^2} + c\) có 3 điểm cực trị?
Cho đồ thị \(\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m.\) Khi thì \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 4.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
Với giá trị nào của \(m\) thì đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 6mx + 4}}{{mx + 2}}\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;4} \right)?\)
Đồ thị của hai hàm số \(y = 4{x^4} - 2{x^2} + 1\) và \(y = {x^2} + x + 1\) có tất cả bao nhiêu điểm chung?
Nếu \({a^{\frac{{13}}{{17}}}} >{a^{\frac{{15}}{{18}}}}\) và \({\log _b}\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right) >{\log _b}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\) thì
Giả sử các biểu thức chứa logarit đều có nghĩa. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho số thực dương \(a.\) Sauk hi rút gọn, biểu thức \(P = \sqrt[3]{{a\sqrt a }}\) có dạng
Cho \(a\) là số thực dương và \(m,n\) là các số thực tùy ý. Trong các tính chất sau, tính chất nào đúng?
Cho đường cong \(\left( C \right)\) có phương trình \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung. Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) có phương trình là
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m - 3} \right){x^2} + 3m - 5\) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}.\) Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = 2a,AC = 3a,AD = 4a,\widehat {BAC} = \widehat {CAD} = \widehat {DAB} = {60^0}.\) Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) bằng
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Trên các đoạn \(SA,SB,SC,SD\) lấy lần lượt các điểm \(E,F,G,H\) thỏa mãn \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SG}}{{SC}} = \frac{1}{3},\frac{{SF}}{{SB}} = \frac{{SH}}{{SD}} = \frac{2}{3}.\) Tỉ số thể tích khối \[EFGH\] với khối \(S.ABCD\) bằng:
