Tìm \(m\) để phương trình \({x^6} + 6{x^4} - {m^2}{x^3} + \left( {15 - 3{m^2}} \right){x^2} - 6mx + 10 = 0\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \[\left[ {\frac{1}{2};2} \right]?\]
A.\(2 < m \le \frac{5}{2}.\)
B.\(\frac{{11}}{5} < m < 4.\)
C.\(\frac{7}{5} \le m < 3.\)
D. \(0 < m < \frac{9}{4}.\)
Giải bởi Vietjack
Phương trình đã cho tương đương với
\(\left( {{x^6} + 6{x^4} + 12{x^2} + 8} \right) - \left( {{m^3}{x^3} + 2{m^2}{x^2} + 3mx + 1} \right) + \left( {3{x^2} - 3mx + 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^3} - {\left( {mx + 1} \right)^3} + 3\left( {{x^2} - mx + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - mx + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2} + \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {mx + 1} \right) + {{\left( {mx + 1} \right)}^2} + 3} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - mx + 1 = 0\) (Vì \({a^2} + ab + {b^2} = {\left( {a + \frac{1}{2}b} \right)^2} + \frac{3}{4}{b^2} \ge 0,\forall a,b).\)
\( \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = m\) (Do \(x = 0\) không thỏa mãn phương trình này).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) Ta có:
\(f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \notin \left( {\frac{1}{2};2} \right)\\x = 1 \in \left( {\frac{1}{2};2} \right)\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên
![Tìm \(m\) để phương trình \({x^6} + 6{x^4} - {m^2}{x^3} + \left( {15 - 3{m^2}} \right){x^2} - 6mx + 10 = 0\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \[\left[ {\frac{1}{2};2} \right]?\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/04/blobid0-1649530650.png)
Từ bảng biến thiên trên suy ra để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thỏa mãn \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\) thì \(2 < m \le \frac{5}{2}.\)
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Tìm điều kiện của tham số \(b\) để hàm số \(y = {x^4} + b{x^2} + c\) có 3 điểm cực trị?
Cho đồ thị \(\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m.\) Khi thì \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 4.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
Với giá trị nào của \(m\) thì đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 6mx + 4}}{{mx + 2}}\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;4} \right)?\)
Đồ thị của hai hàm số \(y = 4{x^4} - 2{x^2} + 1\) và \(y = {x^2} + x + 1\) có tất cả bao nhiêu điểm chung?
Nếu \({a^{\frac{{13}}{{17}}}} >{a^{\frac{{15}}{{18}}}}\) và \({\log _b}\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right) >{\log _b}\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\) thì
Giả sử các biểu thức chứa logarit đều có nghĩa. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cho số thực dương \(a.\) Sauk hi rút gọn, biểu thức \(P = \sqrt[3]{{a\sqrt a }}\) có dạng
Cho đường cong \(\left( C \right)\) có phương trình \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung. Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) có phương trình là
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m - 3} \right){x^2} + 3m - 5\) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
Cho \(a\) là số thực dương và \(m,n\) là các số thực tùy ý. Trong các tính chất sau, tính chất nào đúng?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}.\) Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây?
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B,SA\) vuông góc với đáy và \(SA = AB = 6a.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Trên các đoạn \(SA,SB,SC,SD\) lấy lần lượt các điểm \(E,F,G,H\) thỏa mãn \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SG}}{{SC}} = \frac{1}{3},\frac{{SF}}{{SB}} = \frac{{SH}}{{SD}} = \frac{2}{3}.\) Tỉ số thể tích khối \[EFGH\] với khối \(S.ABCD\) bằng:
