Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(AC = 2a\) biết rằng \(\left( {A'BC} \right)\) hợp với đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({45^0}\).Thể tích khối lăng trụ\(ABC.A'B'C'\)bằng
A. \[\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\]
B. \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\]
C. \[{a^3}\sqrt 3 \]
D. \[{a^3}\sqrt 2 \]
Giải bởi Vietjack
Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B.\) Gọi \(BA = BC = b.\)
Áp dụng định lí Pitago vào trong tam giác vuông \(ABC\) ta có \(\sqrt {B{A^2} + B{C^2}} = AC \Leftrightarrow b\sqrt 2 = 2a \Leftrightarrow b = a\sqrt 2 .\)
Diện tích đáy là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}{b^2} = \frac{1}{2}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = {a^2}.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot \left( {AA'B} \right)\\\left( {AA'B} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\\left( {AA'B} \right) \cap \left( {A'BC} \right) = A'B\end{array} \right..\) Do đó góc giữa \(\left( {A'BC} \right)\) và đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng góc giữa \(AB\) và \(A'B\) và bằng góc \(\widehat {ABA'},\) theo giả thiết, ta có \(\widehat {ABA'} = {45^0}.\)
Tam giác \(AA'B\) vuông cân tại \(A\) nên \(AA' = AB = a\sqrt 2 .\)
Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng \(V = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 2 .{a^2} = {a^3}\sqrt 2 .\)
Đáp án D
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + m\] ( với m là tham số thực). Biết \[\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = 5\] . Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)là
Hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\) có đồ thị như hình dưới đây. Số nghiệm của phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) + 1 = 0\) là
Đường cong ở hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(a,b,c,d\) là các số thực .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) không vượt quá 2020 để hàm số \(y = - {x^4} + (m - 5){x^2} + 3m - 1\) có ba điểm cực trị
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^5} + b{x^3} + cx;(a > 0;b > 0)\) thỏa mãn \(f\left( 3 \right) = - \frac{7}{3};f\left( 9 \right) = 81\). Gọi \[S\] là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \[m\] sao cho \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = 86\] với \(g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right) + 2.f\left( {x + 4} \right) + m\). Tổng của tất cả các phần tử của \[S\] bằng
Cho hàm số\(y = {x^3} + (m - 1){x^2} - 3mx + 2m + 1\) có đồ thị , biết rằng đồ thị\(({C_m})\) luôn đi qua hai điểm cố định\(A,\,B.\) Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\)thuộc đoạn \(\left[ { - 2020;2020} \right]\) để \(({C_m})\) có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(AB\)?
Cho hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x - 3}}\]. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
Ông A dự định sử dụng hết \(8{\rm{ }}{m^2}\)kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng ( các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Mặt phẳng \[(AB'C')\] chia khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] thành hai khối đa diện \[AA'B'C'\] và \[ABCC'B'\]có thể tích lần lượt là \[{V_1},\,{V_2}\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = (x + 1){(x - 2)^3}{(x - 3)^4}{(x + 5)^5}{\rm{; }}\forall x \in \mathbb{R}\) . Hỏi hàm số \(y = f(x)\) có mấy điểm cực trị?
Cho đa giác đều có 10 cạnh. Số tam giác có 3 đỉnh là ba đỉnh của đa giác đều đã cho là
Kết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{x + 1}}{{2{x^3} + 2}}\) bằng:
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\)có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)một góc 60^0.Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + \frac{1}{2}({m^2} - 1){x^2} + 1 - m\) có điểm cực đại là \(x = - 1\)?
