Cho hàm số\(y = {x^3} + (m - 1){x^2} - 3mx + 2m + 1\) có đồ thị , biết rằng đồ thị\(({C_m})\) luôn đi qua hai điểm cố định\(A,\,B.\) Có bao nhiêu số nguyên dương \(m\)thuộc đoạn \(\left[ { - 2020;2020} \right]\) để \(({C_m})\) có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(AB\)?
A.4041.
B. 2021.
C. 2019.
D. 2020.
Giải bởi Vietjack
Hàm số được viết lại thành \(\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)m + {x^3} - {x^2} + 1 - y = 0.\)
Một điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định của đồ thị hàm số thì phương trình \(\left( {x_0^2 - 3x_0^{} + 2} \right)m + x_0^3 - x_0^2 + 1 - {y_0} = 0\) phải nghiệm đúng với mọi \(m,\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - 3{x_0} + 2 = 0\\x_0^3 - x_0^2 + 1 - {y_0} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1;{y_0} = 1\\{x_0} = 2;{y_0} = 5\end{array} \right..\)
Giả sử \(A\left( {1;1} \right),B\left( {2;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1;4} \right)\) khi đó hệ số góc của đường thẳng \(AB\) là \(k = 4.\)
Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} - 3mx + 2m + 1\)
Để trên đồ thị hàm số có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng \(AB\) thì hệ số góc tại tiếp điểm phải bằng \(k' = - \frac{1}{4}.\) Điều đó xảy ra khi và chỉ khi \(f'\left( x \right) = - \frac{1}{4}\) có nghiệm.
Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 3m.\)
Phương trình \(f'\left( x \right) = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 3m = - \frac{1}{4}\left( 1 \right).\)
Phương trình (1) có nghiệm khi \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 7 - 4\sqrt 3 }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{ - 7 + 4\sqrt 3 }}{2}; + \infty } \right).\)
Với \(\frac{{ - 7 + 4\sqrt 3 }}{2} \approx - 0,03\) nên các số nguyên dương \(m \in \left[ { - 2020;2020} \right]\) là \(\left\{ {1;2;3;...;2020} \right\}.\)
Vậy có 2020 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3x + m\] ( với m là tham số thực). Biết \[\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = 5\] . Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)là
Hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\) có đồ thị như hình dưới đây. Số nghiệm của phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) + 1 = 0\) là
Đường cong ở hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(a,b,c,d\) là các số thực .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) không vượt quá 2020 để hàm số \(y = - {x^4} + (m - 5){x^2} + 3m - 1\) có ba điểm cực trị
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^5} + b{x^3} + cx;(a > 0;b > 0)\) thỏa mãn \(f\left( 3 \right) = - \frac{7}{3};f\left( 9 \right) = 81\). Gọi \[S\] là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \[m\] sao cho \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = 86\] với \(g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right) + 2.f\left( {x + 4} \right) + m\). Tổng của tất cả các phần tử của \[S\] bằng
Cho hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x - 3}}\]. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
Ông A dự định sử dụng hết \(8{\rm{ }}{m^2}\)kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng ( các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Mặt phẳng \[(AB'C')\] chia khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] thành hai khối đa diện \[AA'B'C'\] và \[ABCC'B'\]có thể tích lần lượt là \[{V_1},\,{V_2}\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = (x + 1){(x - 2)^3}{(x - 3)^4}{(x + 5)^5}{\rm{; }}\forall x \in \mathbb{R}\) . Hỏi hàm số \(y = f(x)\) có mấy điểm cực trị?
Cho đa giác đều có 10 cạnh. Số tam giác có 3 đỉnh là ba đỉnh của đa giác đều đã cho là
Kết quả \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{x + 1}}{{2{x^3} + 2}}\) bằng:
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\)có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)một góc 60^0.Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + \frac{1}{2}({m^2} - 1){x^2} + 1 - m\) có điểm cực đại là \(x = - 1\)?
Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau
Khẳng định nào sau đây đúng?
