Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 10\,;\,10} \right)\) để hàm số \(y = f\left( {3x - 1} \right) + {x^3} - 3mx\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2\,;\,1} \right)\)?

Cách 1: Ta có: \(y' = 3f'\left( {3x - 1} \right) + 3{x^2} - 3m = 3\left( {f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2} - m} \right)\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2;1} \right)\) thì:

\(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 2;1} \right) \Leftrightarrow \left( {f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2} - m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\)

\(f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2} \ge m,\forall x \in \left( { - 2;1} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} \left( {f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2}} \right)\)

Đặt \(f'\left( {3x - 1} \right) = g\left( x \right)\) và \({x^2} = h\left( x \right)\)

Quan sát bảng biến thiên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {3x - 1} \right) \ge - 4 = f'\left( 0 \right),3x - 1 \in \left( { - 7;2} \right)\\h\left( x \right) = {x^2} \ge 0 = h\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {3x - 1} \right) \ge - 4 = f'\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\\h\left( x \right) = {x^2} \ge 0 = h\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f'\left( {3x - 1} \right) + h\left( x \right) \ge - 4 + 0 = - 4,x = 0\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} \left[ {g\left( x \right) + h\left( x \right)} \right] = - 4,x = 0\)

Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} \left( {f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2}} \right) = - 4\)

Vì \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) và \(m \le - 4\) nên tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là -39

Cách 2:

Xét hàm số \(y = f\left( {3x - 1} \right) + {x^3} - 3mx\)

Ta có: \(y' = 3f'\left( {3x - 1} \right) + 3{x^2} - 3m = 3\left[ {f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2} - m} \right]\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2;1} \right)\) thì:

\(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 2;1} \right) \Leftrightarrow f'\left( {3x - 1} \right) \ge - {x^2} + m,\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\)

Đặt \(g\left( x \right) = f'\left( {3x - 1} \right) \ge - {x^2} + m = h\left( x \right),\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 1 = t\\x = \frac{{t + 1}}{3}\\t \in \left( { - 7;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( t \right) \ge h\left( t \right) = - \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{9} + m,\forall t \in \left( { - 7;2} \right)\left( * \right)\)

Ta có đồ thị hàm số \(h\left( t \right) = - \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{9} + m\) có đỉnh \(I\left( { - 1;m} \right).\)

Vậy \(\left( * \right)\) thỏa mãn khi đồ thị \(h\left( t \right) = - \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{9} + m\) nằm dưới đồ thị \(y = f'\left( t \right).\)

Suy ra: \(m \le - 4.\)

Với giả thiết \(m \in \left( { - 10;10} \right),m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left[ { - 9; - 4} \right] \Rightarrow \sum\limits_{m = - 9}^{ - 4} m = - 39.\)

Đáp án B