Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có độ dài cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $a\sqrt 3$. Gọi $O$ là tâm của đáy $ABC$, ${d_1}$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và ${d_2}$ là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$. Khi đó $d = {d_1} + {d_2}$ có giá trị là.

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + m$ ( với m là tham số thực). Biết $\mathop {\max }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$là

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ không vượt quá 2020 để hàm số $y = - {x^4} + (m - 5){x^2} + 3m - 1$ có ba điểm cực trị

Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^5} + b{x^3} + cx;(a > 0;b > 0)$ thỏa mãn \(f\left( 3 \right) =  - \frac{7}{3};f\left( 9 \right) = 81\). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;5} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = 86$ với $g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right) + 2.f\left( {x + 4} \right) + m$. Tổng của tất cả các phần tử của $S$ bằng

Cho hàm số$y = {x^3} + (m - 1){x^2} - 3mx + 2m + 1$ có đồ thị $C\left(m\right)$, biết rằng đồ thị$({C_m})$ luôn đi qua hai điểm cố định$A,\,B.$ Có bao nhiêu số nguyên dương $m$thuộc đoạn $\left[ { - 2020;2020} \right]$ để $({C_m})$ có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $AB$?

Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x - 3}}$. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Mặt phẳng $(AB'C')$ chia khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ thành hai khối đa diện $AA'B'C'$ và $ABCC'B'$có thể tích lần lượt là ${V_1},\,{V_2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Ông A dự định sử dụng hết $8{\rm{ }}{m^2}$kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng ( các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho đa giác đều có 10 cạnh. Số tam giác có 3 đỉnh là ba đỉnh của đa giác đều đã cho là

Kết quả $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{x + 1}}{{2{x^3} + 2}}$ bằng:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x + 1){(x - 2)^3}{(x - 3)^4}{(x + 5)^5}{\rm{; }}\forall x \in \mathbb{R}$ . Hỏi hàm số $y = f(x)$ có mấy điểm cực trị?

Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} + \frac{1}{2}({m^2} - 1){x^2} + 1 - m$ có điểm cực đại là $x = - 1$?

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} - 2x - m}}$ có đúng hai tiệm cận đứng là

Cho hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$. Mệnh đề đúng là