Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy.

Đáp án D

 Môt mặt phẳng cách đều hai điểm (ta hiểu rằng trong trường hợp này khoảng cách từ hai điểm tới mặt phẳng lớn hơn 0) khi nó song song với đường thẳng đi qua hai điểm đó hoặc cắt đường thẳng đi qua hai điểm đó tại trung điểm của chúng.

Trở lại bài toán rõ rang cả năm điểm A, B, C, D và S không thể nằm cùng phía với mặt phẳng (P)

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Có một điểm nằm khác phía với bốn điểm còn lại.

Nếu điểm này là điểm S thì mặt phẳng (P)phải đi qua trung điểm của SA, SB, SC, SD và đây là mặt phẳng đầu tiên mà ta xác định được.

Nếu điểm này là điểm A thì mặt phẳng (P)phải đi qua trung điểm của các cạnh AS, AB, AC, AD. Không thể xác định mặt phẳng (P)như vậy vì 4 điểm đó tạo thành  một tứ diện. Tương tự như vậy điểm này không thể là B,C,D.

Trường hợp 2: Có hai điểm nằm khác phía so với ba điểm còn lại.

Nếu hai điểm này là A và S thì mặt phẳng (P)phải đi qua trung điểm của các cạnh AB, AC,AD, SB, SC, SD. Không thể xác định mặt phẳng (P)vì sáu điểm này tạo thành một  lăng trụ. Tương tự như vậy hai điểm này không thể các cặp  B và S, C và S, D và S.

Nếu hai điểm này là A và B, A và D, B và C, B và D, C và D thì mỗi trường hợp ta xác định được một mặt phẳng.

Như vậy ta xác định được 5 mặt phẳng (P).