Người ta bỏ vào một chiếc hộp hình trụ ba quả bóng tennis hình cầu bằng nhau, biết rằng đáy hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả bóng, chiều cao của hình trụ gấp 3 lần đường kính quả bóng. Gọi ${\mathrm{V}}_1$ là tổng thể tích ba quả bóng, ${\mathrm{V}}_2$ là thể tích của hình trụ. Khi đó tỉ số $\frac{{\mathrm{V}}_1}{{\mathrm{V}}_2}$ là

Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(5;-2;0), B(4;5;-2) và C(0;3;2). Điểm M di chuyển trên trục Ox. Đặt $Q=2\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của Q có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và b là số nguyên tố. Tính a + b.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0;100] để bất phương trình $4^{2x-m}-{4.2}^{3x-2m}+{4.2}^{x-m}<1$ nghiệm đúng với $\forall x\in \left(-\infty ;4\right]$?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left(-25;0\right)$ sao cho hàm số $y=\left(x^4-5\right)e^x-m{x}^2-\left(m^2-m\right)x+2$  luôn đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)?$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua CD’ và tạo với mặt phẳng (A'B'C'D') một góc $\phi$ với $\tan \phi =\frac{\sqrt{5}}{2}$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chia khối lặp phương thành hai khối đa diện có thể tích là $V_1,V_2$ với $V_1>V_2$. Tính V₁.

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC có AB = 1, AC = 2, $\widehat{BAC}={60}^{\circ }$. Điểm S thay đổi thuộc đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), (S khác A). Gọi B₁, C₁ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Đường kính MN thay đổi của mặt cầu (T) ngoại tiếp khối đa diện ABCB₁C₁ và I là điểm cách tâm mặt cầu (T) một khoảng bằng ba lần bán kính. Tính giá trị nhỏ nhất của IM + IN.

Cho hai khối cầu có tổng diện tích bằng $80\pi$ tiếp xúc ngoài nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P) lần lượt tại hai điểm A, B. Tính tổng thể tích của hai khối cầu đó biết $AB=4\sqrt{2}$.