Tính tích phân $\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{x}}^3\sqrt{{\mathrm{x}}^4+1}\mathrm{dx}$

Tô màu các cạnh của hình vuông ABCD bởi 6 màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô?

Rút gọn biểu thức $\mathrm{P}=\frac{\sqrt[6]{\mathrm{a}}-\sqrt[6]{\mathrm{b}}}{\sqrt[3]{\mathrm{a}}.{\mathrm{b}}^{\frac{1}{2}}-\sqrt[3]{\mathrm{b}}.{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}$, (với $\mathrm{a},\mathrm{b}>0$)

Cho hai cấp số cộng $\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right):{\mathrm{a}}_1=4,{\mathrm{a}}_2=7,...,{\mathrm{a}}_{100}$ và $\left({\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\right):{\mathrm{b}}_1=1,{\mathrm{b}}_2=6,...,{\mathrm{b}}_{100}$. Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên?

Người ta muốn thiết kế một bế cá bằng kính không có nắp với thể tích là $80{\mathrm{dm}}^3$ và chiều cao là 4dm. Đặt một vách ngăn có cùng bán kính ở giữa, chia bể thành hai ngăn, với các kích thước là x,y (dm) như hình vẽ. Tính x,y đế bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ngăn ở giữa), coi bề dày các tâm kính là như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, $\mathrm{AB}=\mathrm{a}\sqrt{2}, \mathrm{SA}=\mathrm{SB}=\mathrm{SC}$. Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng ${60}^0$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{5-\mathrm{msinx}-\left(\mathrm{m}+1\right)\mathrm{cosx}}$ xác định trên R?

Cho khối tứ diện ABCD đều cạnh a, M là trung điểm của DC. Tính thể tích của khối chóp M.ABC.

Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng 2R và thiết diện qua trục của hình nón là tam giác SAB có góc ASB bằng ${60}^{\mathrm{o}}$. Tính thể tích và diện tích xung quanh của khối nón.

Trên mặt phẳng phức, cho điểm A biểu diễn số phức $3-4\mathrm{i}$, điểm B biểu diễn số phức $-1-2\mathrm{i}$. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với M qua trục hoành. Khi đó điểm N biểu diễn số phức nào sau đây?

Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho $\mathrm{A}=\mathrm{alna}-\underset{1}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\mathrm{lnxdx}$ nhận giá trị dương và không vượt quá 2018?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với $\mathrm{A}\left(0;1;1\right),\mathrm{B}\left(0;2;1\right),$$\mathrm{C}\left(-1;0;2\right),\mathrm{D}\left(-3;2;5\right)$. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Trong không gian, tìm mệnh đề SAI trong các mệnh đề sau:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và ${\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)>0,\forall \mathrm{x}>0$. Biết $\mathrm{f}\left(0\right)=2$. Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?

Phương trình ${\mathrm{z}}^2+\mathrm{az}+\mathrm{b}=0,\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\in \mathrm{ℝ}\right)$ có một nghiệm phức là $\mathrm{z}=1+2\mathrm{i}$. Khi đó tổng $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ bằng

Cho f(x) là hàm số chẵn và $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{a}.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?