Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD'

Hỏi hình tạo bởi 6 đỉnh là 6 trung điểm của các cạnh một tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?     

Biết rằng phương trình $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0\left(a,b,d,e\in ℝ,a\ne 0,b\ne 0\right)$ có 4 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực?

${\left(4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d\right)}^2-2\left(6a{x}^2+3bx+c\right)\left(a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e\right)=0$

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3+3x^2+mx+1$. Gọi S là tổng tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ cắt đường thẳng $y=1$ tại ba điểm phân biệt $A\left(0;1\right),B,C$ sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại B, C vuông góc với nhau. Giá trị của S bằng: 

Cho tập hợp $S=\left\{1;2;3;\mathrm{...};17\right\}$ gồm 17 số nguyên dương đầu tiên. Chọn ngẫu nhiên một tập con có 3 phần tử của tập hợp S. Tính xác suất để tập hợp được chọn có tổng các phần tử chia hết cho 3. 

Trong không gian cho tam giác ABC có $ABC={90}^0,AB=a$. Dựng $AA\text{'},CC\text{'}$ ở cùng một phía và vuông góc với mp (ABC). Tính khoảng cách từ trung điểm của A'C' đến mp (BCC')        

Cho $\underset{4}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)dx=10$. Tính tích phân $J=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(5x+4\right)dx$    

Cho hình chữ nhật ABCD, hình tròn xoay khi quay đường gấp khúc ABCD quanh cạnh AB trong không gian là hình nào dưới đây?

Gọi $x_1,x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}m{x}^2-4x-10$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-1\right)$.   

Cho x, y là các số thực thỏa mãn ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{3y^2+4xy+7x+4y-1}{x+2y+1}$ 

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị hàm số là đường cong trong hình vẽ

bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hàm số $F\left(x\right)=2\sin x-3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số:   

Cho dãy số $\left(u_n\right),n\in {\mathbb{N}}^{*}$ là cấp số cộng có $u_4+u_7=5$. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số đó.   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+3}{1}$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d.

Tính $\lim \frac{n-1}{n^3+3}$

Tìm giá trị nguyên của tham số $m\in \left(-10;10\right)$ để phương trình ${\left(\sqrt{10}+1\right)}^{x^2}+m{\left(\sqrt{10}-1\right)}^{x^2}={2.3}^{x^2+1}$ có đúng hai nghiệm phân biệt.