Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có AA'=2AB=2AD,BAD^=900,BAA'^=600,DAA'^=1200 và AC'=6. Tính thể tích của khối hộp đã cho

Chọn A. Cách 1: Ta có đáy ABCD là hình bình hành có BAD^=900 nên là hình chữ nhật, lại có AB=AD nên ABCD là hình vuông. Đặt AB=AD=x ta được AC=x2 và AA'=2x Trong hình bình hành A'.ABB' có AB'2=x2+4x2−2.x.2x.cos1200=7x2 suy ra DC'=x7. Ta có AB'→.AD→=AB→+AA'→.AD→=AA'→.AD→=x.2x.cos1200=−x2 do vậy DA→.DC'→=x2 từ đây ta có x.x7.cosADC'^=x2⇔cosADC'^=17. Trong tam giác ΔADC' ta có AD2+DC'2−2AD.DC'.cosADC'^=6⇔x2+7x2−2.x.x717=6⇔x=1. Từ đây ta có AB=1,AD=1,AA'=2,BAD^=900,BAA'^=600,DAA^'=1200 và thể tích của khối tứ diện A'ABD được tính theo công thức VA'.ABD=16AB.AD.AA'1+2cosBAD^cosBAA'^cosDAA'^−cos2BAD^−cos2BAA'^−cos2DAA'^ =16.1.1.2.1+2cos600cos1200cos900−cos2600−cos21200−cos2900=26. Do đó thể tích của khối hộp là Vhop=6VA'.ABD=2. Cách 2: Đặt x=AB=AD,x>0 thì AA'=2x. Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABA' ta có A'B2=AB2+AA'2−2AB.AA'.cos600=x2+4x2−2.x.2x.12=3x2. Suy ra AA'2=AB2+A'B2. Do đó tam giác ABA' vuông tại B hay AB⊥BA'. Mà AB⊥BC (do AB⊥AD) nên AB⊥BCD'A'. Vì vậy. V=2VABA'.DCD'=2.3VA.A'BC=2AB.SA'BC. Mặt khác, SA'BC=12BC2.BA'2−BC→.BA'→2 Mà BC→.BA'→=AD→.AA'→−AB→=AD→.AA'→−AD→.AB→=x.2x.cos1200−0=−x2 nên SA'BC=12x2.3x2−−x22=2x22. Do đó, V=2x.2x22=2x3. Theo quy tắc hình hộp, AC'→=AB→+AD→+AA'→. Suy ra AC'→2=AB→2+AD→2+AA'→2+2AB→.AD→+AD→.AA'→+AA'→.AB→ ⇒6=x2+x2+4x2+20−x.2x.12+2x.x.12⇒x=1. Vậy thể tích của khối hộp đã cho là V=2.

Câu hỏi:

23/07/2024 1,432

Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có $A A' = 2 A B = 2 A D, \hat{B A D} = 90^{0}, \hat{B A A'} = 60^{0}, \hat{D A A'} = 120^{0}$ và $A C' = \sqrt{6} .$ Tính thể tích của khối hộp đã cho

$A . V = \sqrt{2} .$

Đáp án chính xác

$B . V = 2 \sqrt{3} .$

$C . V = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

$D . V = 2 \sqrt{2} .$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A.

Cách 1:

Ta có đáy ABCD là hình bình hành có $\hat{B A D} = 90^{0}$ nên là hình chữ nhật, lại có AB=AD nên ABCD là hình vuông.

Đặt AB=AD=x ta được $A C = x \sqrt{2}$ và AA'=2x

Trong hình bình hành A'.ABB' có $A B'^{2} = x^{2} + 4 x^{2} - 2. x .2 x . \cos 120^{0} = 7 x^{2}$ suy ra $D C' = x \sqrt{7} .$

Ta có $\vec{A B'} . \vec{A D} = (\vec{A B} + \vec{A A'}) . \vec{A D} = \vec{A A'} . \vec{A D} = x .2 x . \cos 120^{0} = - x^{2}$ do vậy $\vec{D A} . \vec{D C'} = x^{2}$ từ đây ta có $x . x \sqrt{7} . \cos \hat{A D C'} = x^{2} \Leftrightarrow \cos \hat{A D C'} = \frac{1}{\sqrt{7}} .$

Trong tam giác $Δ A D C'$ ta có $A D^{2} + D C'^{2} - 2 A D . D C' . \cos \hat{A D C'} = 6 \Leftrightarrow x^{2} + 7 x^{2} - 2. x . x \sqrt{7} (\frac{1}{\sqrt{7}}) = 6 \Leftrightarrow x = 1.$

Từ đây ta có $A B = 1, A D = 1, A A' = 2, \hat{B A D} = 90^{0}, \hat{B A A'} = 60^{0}, \hat{D A A}' = 120^{0}$ và thể tích của khối tứ diện A'ABD được tính theo công thức $V_{A' . A B D} = \frac{1}{6} A B . A D . A A' \sqrt{1 + 2 \cos \hat{B A D} \cos \hat{B A A'} \cos \hat{D A A'} - \cos^{2} \hat{B A D} - \cos^{2} \hat{B A A'} - \cos^{2} \hat{D A A'}}$

$= \frac{1}{6} .1.1.2. \sqrt{1 + 2 \cos 60^{0} \cos 120^{0} \cos 90^{0} - \cos^{2} 60^{0} - \cos^{2} 120^{0} - \cos^{2} 90^{0}} = \frac{\sqrt{2}}{6} .$

Do đó thể tích của khối hộp là $V_{h o p} = 6 V_{A' . A B D} = \sqrt{2} .$

Cách 2:

Đặt $x = A B = A D, (x > 0)$ thì AA'=2x. Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABA' ta có

$A' B^{2} = A B^{2} + A A'^{2} - 2 A B . A A' . \cos 60^{0} = x^{2} + 4 x^{2} - 2. x .2 x . \frac{1}{2} = 3 x^{2} .$

Suy ra $A A'^{2} = A B^{2} + A' B^{2} .$ Do đó tam giác ABA' vuông tại B hay $A B ⊥ B A' .$

Mà $A B ⊥ B C$ (do $A B ⊥ A D$ ) nên $A B ⊥ (B C D' A') .$ Vì vậy.

            $V = 2 V_{A B A' . D C D'} = 2.3 V_{A . A' B C} = 2 A B . S_{A' B C} .$

Mặt khác, $S_{A' B C} = \frac{1}{2} \sqrt{B C^{2} . B A'^{2} - {(\vec{B C} . \vec{B A'})}^{2}}$

Mà $\vec{B C} . \vec{B A'} = \vec{A D} . (\vec{A A'} - \vec{A B}) = \vec{A D} . \vec{A A'} - \vec{A D} . \vec{A B} = x .2 x . \cos 120^{0} - 0 = - x^{2}$ nên

                                                   $S_{A' B C} = \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} .3 x^{2} - {(- x^{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2} x^{2}}{2} .$

Do đó, $V = 2 x . \frac{\sqrt{2} x^{2}}{2} = \sqrt{2} x^{3} .$

Theo quy tắc hình hộp, $\vec{A C'} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A'} .$ Suy ra

               ${\vec{A C'}}^{2} = {\vec{A B}}^{2} + {\vec{A D}}^{2} + {\vec{A A'}}^{2} + 2 (\vec{A B} . \vec{A D} + \vec{A D} . \vec{A A'} + \vec{A A'} . \vec{A B})$

               $\Rightarrow 6 = x^{2} + x^{2} + 4 x^{2} + 2 (0 - x .2 x . \frac{1}{2} + 2 x . x . \frac{1}{2}) \Rightarrow x = 1.$

Vậy thể tích của khối hộp đã cho là $V = \sqrt{2} .$

Câu trả lời này có hữu ích không?

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, A C = \sqrt{5} a, A A' = \sqrt{3} a$ (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (A'BC) bằng

Xem đáp án » 13/09/2021 33,317

Câu 2:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAC là tam giác cân (tham khảo hình bên). Tính thể tích V của khối chóp đã cho

Xem đáp án » 13/09/2021 14,841

Câu 3:

Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng 4. Thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho bằng

Xem đáp án » 13/09/2021 13,041

Câu 4:

Cho khối trụ có bán kính đáy r=6 và chiều cao h=2. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

Xem đáp án » 13/09/2021 12,641

Câu 5:

Cho khối lập phương có cạnh bằng 5. Thể tích của khối lập phương đã cho bằng

Xem đáp án » 13/09/2021 12,060

Câu 6:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần, trong đó phần chứa đỉnh S có thể tích $V_{1}$ , phần còn lại có thể tích $V_{2}$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}} .$

Xem đáp án » 14/09/2021 11,328

Câu 7:

Cho hình nón có chiều cao bằng 4. Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng 32. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đó bằng

Xem đáp án » 14/09/2021 10,852

Câu 8:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2. Tam giác SAB là tam giác đều, tam giác SCD vuông tại S (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích V của khối chóp đã cho

Xem đáp án » 14/09/2021 10,834

Câu 9:

Nghiệm của phương trình $2^{x + 1} = 4$ là

Xem đáp án » 13/09/2021 7,336

Câu 10:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{5}} (x - 1) > - 1$ là

Xem đáp án » 13/09/2021 7,084

Câu 11:

Tính đạo hàm của hàm số $y = 3^{1 - x} .$

Xem đáp án » 13/09/2021 7,079

Câu 12:

Cho khối chóp có diện tích đáy B=12 và chiều cao h=6. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Xem đáp án » 13/09/2021 6,580

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại $B, A B = a, S A = a \sqrt{3}$ và SA vuông với mặt phẳng đáy (tham khảo hình bên). Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng

Xem đáp án » 13/09/2021 6,573

Câu 14:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 4a (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối trụ đã cho bằng

Xem đáp án » 13/09/2021 6,502

Câu 15:

Cho a là số thực dương và m,n là các số thực tùy ý. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Xem đáp án » 13/09/2021 5,355

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Bộ đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề)

31 đề 89965 lượt thi Thi thử
30 đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải

31 đề 49461 lượt thi Thi thử
[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

31 đề 43508 lượt thi Thi thử
Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

30 đề 33799 lượt thi Thi thử
Thi Online Bộ đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề)

31 đề 30976 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có đáp án

21 đề 18961 lượt thi Thi thử
Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2022 có đáp án

30 đề 14846 lượt thi Thi thử
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán hay nhất có lời giải chi tiết

31 đề 10702 lượt thi Thi thử
Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

31 đề 10116 lượt thi Thi thử
Đề thi thử THPTGQ môn Toán cực cực hay có lời giải chi tiết

31 đề 9887 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có AA'=2AB=2AD,BAD^=900,BAA'^=600,DAA'^=1200 và AC'=6. Tính thể tích của khối hộp đã cho

A. V=2.

B. V=23.

C. V=22.

D. V=22.

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AC=5a,AA'=3a (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (A'BC) bằng

Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có $A A' = 2 A B = 2 A D, \hat{B A D} = 90^{0}, \hat{B A A'} = 60^{0}, \hat{D A A'} = 120^{0}$ và $A C' = \sqrt{6} .$ Tính thể tích của khối hộp đã cho

$A . V = \sqrt{2} .$

$B . V = 2 \sqrt{3} .$

$C . V = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

$D . V = 2 \sqrt{2} .$

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, A C = \sqrt{5} a, A A' = \sqrt{3} a$ (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (A'BC) bằng