Một hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, góc $\widehat{BAD}={60}^o$, cạnh bên hợp với đáy góc ${45}^o$ sao cho A’ chiếu xuống mặt phẳng ( ABCD ) trùng với giao điểm O của hai đường chéo mặt đáy. Tính thể tích hình hộp.

Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.

Cho a,b > 0 thỏa mãn $9a^2+b=10ab$. Hãy chọn đẳng thức đúng

Cho hàm số $f\left(0;+\mathrm{\pi }\right)\to \mathrm{ℝ}$ thỏa mãn điều kiện

$f\left(\tan \left(2x\right)\right)={\tan }^4\left(x\right)+\frac{1}{{\tan }^4\left(x\right)}$; $\forall x\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng $\left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

Một công ty đang lập kế hoạch cải tiến sản phẩm và xác định rằng tổng chi phí dành cho việc cải tiến là $C\left(x\right)=2x+4+\frac{2}{x-6}\left(x>6\right)$ trong đó x là số sản phẩm được cải tiến. Tìm số sản phẩm mà công ty cần cải tiến để tổng chi phí là thấp nhất

Tìm a để đồ thị hàm số $y=x^3+a{x}^2-4$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Cho $z={\left(\frac{1+i}{1-i}\right)}^{2021}$. Tính

$M=z^k+z^{k+1}+z^{k+2}+z^{k+3}$

Cho 8 quả cân có khối lượng lần lượt là 1 kg; 2 kg;…; 8 kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân. Tính xác suất để trọng lượng quả cân được chọn không quá 9 kg

Xét số phức: $z=\frac{i-m}{1-m\left(m-2i\right)}$. Tìm m để $z.\overline{z}=\frac{1}{2}$

Khai triển và rút gọn biểu thức

$1-x+2{\left(1-x\right)}^2+.+n{\left(1-x\right)}^n$ thu được đa thức 

$P\left(x\right)=a_0+a_{1}x+..+a_n{x}^n$ . Tính hệ số $a_8$ biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn $\frac{1}{C_n^2}+\frac{7}{C_n^3}=\frac{1}{n}$

Tính giới hạn

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim } \\ \left[\cos \left(\pi n\sqrt[3]{n^3+3n^2+n+1}\right)\right]+\left[\sin \left(\mathrm{\pi n}\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}\right)\right] \end{gathered}$$

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\sqrt{4x^2+4x+3}-\left(ax+b\right)\right]$

Tính ${\left(a-2b\right)}^{2018}\left(3a^2+\sqrt[3]{ab}+b\sqrt[3]{a}\right)$

Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình

$\sin \left[\frac{\mathrm{\pi }}{4}\left(3x-\sqrt{9x^2-16x-80}\right)\right]$ = 0

Cho $∆ABC$ vuông tại A có AB = 3; AC = 4. Quay tam giác quanh AB ta được hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh $S_1$ và quay tam giác quanh AC ta thu được hình nón xoay có diện tích xung quanh $S_2$. Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$

Giả sử M, m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{{\ln }^2\left(x\right)}{x}$ trên đoạn $\left[1;e^3\right]$. Tính giá trị của $Q=\sqrt{e^2\left(M+m\right)}$

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-2x^2-mx-2018$. Tìm m để $f\text{'}\left(x\right)<0\forall x\in \left(0;2\right)$