Tính giới hạn $\underset{x\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)}$

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left|\sin \left(x\right)-\cos \left(2x\right)\right|$. Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?

Tìm a để hàm số $y=x-\sqrt{x^2-x+a}$ luôn nghịch biến trên R

Rút gọn biểu thức $P=\frac{1-{{\log }^3}_a\left(b\right)}{\left({\log }_a\left(b\right)+{\log }_b\left(a\right)+1\right){\log }_a\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}$ với 0 < a, b$\ne 1$

Tìm m để số phức $z=1+\left(1+mi\right)+{\left(1+mi\right)}^2$ là số thuần ảo

Tìm các giá trị của m để phương trình $4{\left({\log }_a\left(\sqrt{x}\right)\right)}^2-{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+m\right)=0$ có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1 )

Cho phương trình $x^{12}+1=4x^4\sqrt{x^n-1}\left(1\right)$. Tìm số n nguyên dương bé nhất để phương trình có nghiệm

Tìm các họ nghiệm của phương trình $\cos \left(3x\right){\cos }^3\left(x\right)-\sin \left(3x\right){\sin }^3\left(x\right)=\frac{2+3\sqrt{2}}{8}$

Trong mặt phẳng Oxy, hãy tìm ảnh qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left(-2;4\right)$ của đường thẳng $∆:3x-2y+5=0$

Tìm trên đồ thị $\left(C_m\right):y=\frac{2x}{x-1}$ hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A ( 2;0 )

Tìm tập xác định D của hàm số 

$y=\sqrt{\frac{5-3\cos \left(2x\right)}{\left|1-\sin \left(2x-{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}\right)\right|}}$

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}0 khi x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \frac{1}{2+{\tan }^2\left(x\right)} \end{array}\right.$

Tìm điều kiện của a để hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)+f\left(ax\right)$ tuần hoàn

Trong loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cácbon 14 nữa. Lương cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng thì từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức $P\left(t\right)=100.{\left(0,5\right)}^{\frac{t}{5750}}\left(\%\right)$ Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại công trình kiến trúc đó (lấy gần đúng).

Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B, C biểu diễn các số phức a = 2 - 2i; b = -1 + i và c = 5 + ki với $k\in R$. Tìm k để ABCD là hình chữ nhật

Tìm m để hàm số $y=\frac{\sqrt{\left(m+1\right)x-m}}{{\log }_a\left(mx-m+2\right)}$ xác định với mọi $x\ge 1$

Giả sử $f:R\to R$là hàm đơn điệu sao cho $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(2x\right)}{f\left(x\right)}=1$. Với mọi k > 0, tính giới hạn $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(kx\right)}{x}$