Cho hai số phức \[z,{\rm{ }}w\] thỏa mãn \[z + w = 3 + 4i\] và \[\left| {z - w} \right| = 9\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[T = \left| z \right| + \left| w \right|\].
A.4.
B.14.
C.\[\sqrt {176} .\]
D.\[\sqrt {106} .\]
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Chọn đáp án D
Giả sử \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Từ \(z + w = 3 + 4i \Rightarrow w = \left( {3 - x} \right) + \left( {4 - y} \right)i\).
Ta có \(z - w = \left( {2x - 3} \right) + \left( {2y - 4} \right)i \Rightarrow \left| {z - w} \right| = \sqrt {{{\left( {2x - 3} \right)}^2} + {{\left( {2y - 4} \right)}^2}} = 9\)
\( \Rightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 12x - 16y - 56 = 0 \Rightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 6x - 8y - 28 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Ta có \(T = \left| z \right| + \left| w \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( {4 - y} \right)}^2}} \).
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có \({T^2} \le 2\left[ {\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( {4 - y} \right)}^2}} \right]\)
\( \Rightarrow {T^2} \le 2\left( {2{x^2} + 2{y^2} - 6x - 8y + 25} \right) = 2\left( {28 + 25} \right) \Rightarrow T \le \sqrt {106} \).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} \Leftrightarrow 25 - 6x - 8y = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{25 - 6x}}{8}\).
Thế vào (1) ta được \({x^2} + {\left( {\frac{{25 - 6x}}{8}} \right)^2} - 3x - 4.\frac{{25 - 6x}}{8} - 14 = 0\)
\( \Leftrightarrow 64{x^2} + \left( {36{x^2} - 300x + {{25}^2}} \right) - 192x - 32\left( {25 - 6x} \right) - 896 = 0\)
\( \Leftrightarrow 100{x^2} - 300x - 1071 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{51}}{{10}} \Rightarrow y = - \frac{7}{{10}}\\x = - \frac{{21}}{{10}} \Rightarrow y = \frac{{47}}{{10}}\end{array} \right.\)
Vậy \({T_{\max }} = \sqrt {106} \) đạt được chẳng hạn khi \(z = \frac{{51}}{{10}} - \frac{7}{{10}}i,{\rm{ }}w = - \frac{{21}}{{10}} + \frac{{47}}{{10}}i\).
Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \[y = 2{x^2} - 1\] và nửa đường tròn có phương trình \[y = \sqrt {2 - {x^2}} \] (với \[ - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \]) (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {1;e} \right]\] thỏa mãn \[\int\limits_1^e {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = 1\] và \[f\left( e \right) = 1.\] Tính tích phân \[I = \int\limits_1^e {f'\left( x \right).\ln xdx} .\]
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = {x^4} + 2\left( {{m^2} - 5m} \right){x^2} + 1\] có ba điểm cực trị?
Biết phương trình \[{2^{x + 1}}{.5^x} = 15\] có nghiệm duy nhất dạng \[a\log 5 + b\log 3 + c\log 2\] với \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{Z}.\] Tính \[S = a + 2b + 3c.\]
Cho số z thỏa mãn \[\left| {z + 8 - 3i} \right| = \left| {z - i} \right|\] và \[\left| {z + 8 - 7i} \right| = \left| {z + 4 - i} \right|\]. Môđun của z bằng
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên A có 4 chữ số. Gọi N là số thỏa mãn \[{3^N} = A.\] Xác suất để N là số tự nhiên bằng
Trong không gian Oxyz,cho điểm \[A\left( {2; - 1; - 2} \right)\] và đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\]. Mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
Cho hàm số bậc bốn \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \[f\left( {\left| {2020x + m} \right|} \right) = 6m + 12\] có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. Tính tổng tất cả các phần tử của S.
Trong không gian Oxyz,cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 4y + 3z - 2 = 0.\] Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và \[\widehat {BAC} = 60^\circ .\] Cạnh \[SC = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\] và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SA\] và \[BD\] bằng
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \cos 3x\] là
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] như hình vẽ. Bất phương trình \[f\left( x \right) \le {3^x} - 2x + m\] có nghiệm với mọi \[x \in \left( { - \infty ;1} \right]\] khi và chỉ khi
