Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H.7.15a) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy π = 3,14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.

Hướng dẫn giải

Gọi bán kính của bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là x, y (m) (x, y > 0).

Chu vi của bể hình tròn là: 2πx = 2 . 3,14 . x = 6,28x (m).

Vì hai bể còn lại là hai bể có dạng nửa hình tròn bằng nhau nên tổng chu vi của hai bể này bằng tổng chu vi của đường tròn bán kính y (m) với 2 lần độ dài đường kính của đường tròn đó, do đó chu vi của hai bể nửa hình tròn là:

2πy + 2 . 2y = 2 . 3,14 . y + 4y = 10,28y (m).

Tổng chu vi của ba bể là 32 m nên ta có: 6,28x + 10,28y = 32 hay 1,57x + 2,57y – 8 = 0.

Diện tích của bể hình tròn là: πx² = 3,14x² (m²).

Diện tích của hai bể nửa hình tròn là: πy² = 3,14y² (m²).

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (m²). Khi đó ta có:

3,14x² + 3,14y² = S hay x² + y² = \(\frac{S}{{3,14}}\).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn (C): x² + y² = \(\frac{S}{{3,14}}\) có tâm O(0; 0), bán kính R = \(\sqrt {\frac{S}{{3,14}}} \) và đường thẳng ∆: 1,57x + 2,57y – 8 = 0. Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và ∆ ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.

Để (C) và ∆ có ít nhất một điểm chung thì khoảng cách từ tâm O của (C) tới ∆ phải nhỏ hơn hoặc bằng bán kính R nên ta có: d(O, ∆) ≤ R.

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1,57.0 + 2,57.0 - 8} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {1,57} \right)}^2} + {{\left( {2,57} \right)}^2}} }} \le \sqrt {\frac{S}{{3,14}}} \)

\( \Leftrightarrow 2,66 \le \sqrt {\frac{S}{{3,14}}} \)\( \Leftrightarrow \frac{S}{{3,14}} \ge 7,0756\)\( \Leftrightarrow S \ge 22,22\).

Giá trị nhỏ nhất của S là 22,22 m², khi đó x² + y² = 7,0756          (*).

Từ 1,57x + 2,57y – 8 = 0 ⇒ x = \(\frac{{8 - 2,57y}}{{1,57}}\) thay vào (*) ta được:

\({\left( {\frac{{8 - 2,57y}}{{1,57}}} \right)^2} + {y^2} = 7,0756\)

⇔ (8 – 2,57y)² + (1,57)²y² = 17,44

⇔ 9,0698y² – 41,12y + 46,56 = 0

⇔ y ≈ 2,34 hoặc y ≈ 2,2.

Với y ≈ 2,34 suy ra x = \(\frac{{8 - 2,57.2,34}}{{1,57}}\) ≈ 1,27.

Với y ≈ 2,2 suy ra x = \(\frac{{8 - 2,57.2,2}}{{1,57}}\) ≈ 1,45.

Vậy bán kính bể sục hình tròn là 1,27 m thì bể sục nửa hình tròn là 2,34 m hoặc bán kính của bể sục hình tròn là 1,45 m thì bể sục nửa hình tròn là 2,2 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.