Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7;

b) Có tâm I(1; – 2) và đi qua điểm A(– 2; 2);

c) Có đường kính AB, với A(– 1; – 3), B(– 3; 5);

d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7 có phương trình là

(x – (–2))² + (y – 5)² = 7² hay (x + 2)² + (y – 5)² = 49.

b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm A nên bán kính đường tròn là IA.

Ta có: IA = \(\sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} \)= 5.

Do đó phương trình đường tròn là: (x – 1)² + (y – (– 2))² = 5²

Hay (x – 1)² + (y + 2)² = 25.

c) Đường tròn có đường kính AB thì tâm của đường tròn này là trung điểm của AB.

Tọa độ trung điểm I của AB là I\(\left( {\frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right)}}{2};\frac{{\left( { - 3} \right) + 5}}{2}} \right)\) hay I(– 2; 1).

Ta có: AB = \(\sqrt {{{\left( { - 3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + \left( {5 - {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right)} \) = \(2\sqrt {17} \).

Khi đó phương trình đường tròn đường kính AB là:

\({\left( {x - \left( { - 2} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {17} } \right)^2}\) hay (x + 2)² + (y – 1)² = 68.

d) Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + 2y + 3 = 0 thì khoảng cách từ tâm I đến ∆ chính bằng bán kính của (C).

Ta có: R = d(I, ∆) = \(\frac{{\left| {1 + 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \).

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2}\) hay (x – 1)² + (y – 3)² = 20.