Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại A. AB=a, $AC=a\sqrt{3}$, AA'=2a. Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (A'B'C') trung với trung điểm H của đoạn B'C' (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và B'C' bằng

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên

Số nghiệm thực của phương trình f(x)=2 là

Nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(x-1\right)=2$ là

Một nhóm 10 học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có An và 5 học sinh nữ trong đó có Bình được xếp ngồi vào 10 cái ghế trên một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình?

Cho khối trụ có bán kính đáy r=3 và độ dài đường sinh l=5. Thể tích của khối trụ đã cho bằng 

Tập xác định của hàm số $y={\log }_5\left|x\right|$ là

Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\cos 2x-5\cos x$ bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3$ có đồ thị $\left(C_1\right)$ và hàm số $g\left(x\right)=3x^2+k$ có đồ thị $\left(C_2\right)$. Có bao nhiêu giá trị của k để $\left(C_1\right)$ và $\left(C_2\right)$ có đúng hai điểm chung?

Biết f(x) là hàm số liên tục trên [0;3] và ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(3x\right)dx=3$. Giá trị của $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho các số thực dương a,b,x khác 1, thỏa mãn $\alpha ={\log }_{a}x;3\alpha ={\log }_{b}x$. Giá trị của ${\log }_{x^3}{a}^2{b}^3$ bằng

Gọi S là tập hợp các giá trị của x để ba số ${\log }_{8}4x;1+{\log }_{4}x;{\log }_{2}x$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Số phần tử của S là

Diện tích hình phẳng thuộc góc phần tư thứ hai giới hạn bởi parabol $y=2-x^2$, đường thẳng y=-x và trục Oy bằng

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm BC. Mặt phẳng (P) vuông góc với các cạnh bên và cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại D,E,F. Biết mặt phẳng (ABB'A') vuông góc với mặt phẳng (ACC'A') và chu vi tam giác DEF bằng 4, thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên không âm của m để hàm số $y=\frac{\ln x-10}{\ln x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left(1;e^3\right)$. Số phần tử của S bằng

Cho hình chóp S.ABC có SA=12cm,  AB=5cm, AC=9cm, SB=13cm và SC=15cm và BC=10cm. Tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là