Điền số thích hợp vào chỗ trống Cho hệ phương trình x+my=m+1mx+y=3m−1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho tích xy nhỏ nhất Đáp số: m = …

Hướng dẫn Bước 1: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) Bước 2: Giải hệ tìm nghiệm (x; y) theo tham số m. Tính tích xy Bước 3: Biến đổi tích xy về dạng A2 + b rồi đánh giá tìm giá trị nhỏ nhất Bước 4: Tìm m để dấu “=” xảy ra. So sánh với điều kiện ở bước 1 và kết luận Lời giải Biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có: x=−my+m+1m−my+m+1+y=3m−1⇔x=−my+m+1−m2y+m2+m+y=3m−1 ⇔x=−my+m+1m2−1y=m2−2m+1⇔x=−my+m+1m2−1y=m−12 * Hệ có nghiệm duy nhất ⇔m2−1≠0⇔m≠±1 Khi đó *⇔x=−my+m+1y=m−1m+1⇔x=3m+1m+1y=m−1m+1 S=xy=3m+1m+1.m−1m+1=3m+1m−1m+12=3m+1−2.m+1−2m+12 Đặt t = m + 1, ta có: S=3t−2t−2t2=3t2−8t+4t2=3−8t+4t2=2t−22−1 Ta có 2t−22≥0⇒S=2t−22−1≥−1 Dấu “=” xảy ra khi 2t−2=0⇔t=1⇔m+1=1⇔m=0TM Vậy m = 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn xy nhỏ nhất Vậy số cần điền vào chỗ trống là 0

Câu hỏi:

22/07/2024 415

Điền số thích hợp vào chỗ trống

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + m y = m + 1 \\ m x + y = 3 m - 1 \end{cases}$ . Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho tích xy nhỏ nhất

Đáp số: m = …

Xem lời giải Xem lý thuyết

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn

Bước 1: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y)

Bước 2: Giải hệ tìm nghiệm (x; y) theo tham số m. Tính tích xy

Bước 3: Biến đổi tích xy về dạng A² + b rồi đánh giá tìm giá trị nhỏ nhất

Bước 4: Tìm m để dấu “=” xảy ra. So sánh với điều kiện ở bước 1 và kết luận

Lời giải

Biểu diễn x theo y từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có:

$\{\begin{cases} x = - m y + m + 1 \\ m (- m y + m + 1) + y = 3 m - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - m y + m + 1 \\ - m^{2} y + m^{2} + m + y = 3 m - 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - m y + m + 1 \\ (m^{2} - 1) y = m^{2} - 2 m + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - m y + m + 1 \\ (m^{2} - 1) y = {(m - 1)}^{2} \end{cases} ()$

Hệ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow m^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$

Khi đó

$() \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - m y + m + 1 \\ y = \frac{m - 1}{m + 1} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3 m + 1}{m + 1} \\ y = \frac{m - 1}{m + 1} \end{cases}$

$S = x y = \frac{3 m + 1}{m + 1} . \frac{m - 1}{m + 1} = \frac{(3 m + 1) (m - 1)}{{(m + 1)}^{2}} = \frac{[3 (m + 1) - 2] . [(m + 1) - 2]}{{(m + 1)}^{2}}$

Đặt t = m + 1, ta có:

$S = \frac{(3 t - 2) (t - 2)}{t^{2}} = \frac{3 t^{2} - 8 t + 4}{t^{2}} = 3 - \frac{8}{t} + \frac{4}{t^{2}} = {(\frac{2}{t} - 2)}^{2} - 1$

Ta có ${(\frac{2}{t} - 2)}^{2} \geq 0 \Rightarrow S = {(\frac{2}{t} - 2)}^{2} - 1 \geq - 1$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{2}{t} - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow m + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0 (T M)$

Vậy m = 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn xy nhỏ nhất

Vậy số cần điền vào chỗ trống là 0

Câu trả lời này có hữu ích không?

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Điền số thích hợp vào chỗ trống

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$ .

Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là các số nguyên

Đáp số: $m \in \{...; ...; ...; ...\}$

Xem đáp án » 22/09/2021 3,724

Câu 2:

Điền số thích hợp vào chỗ trống

Điểm trung bình của 100 học sinh trong hai lớp 9A và 9B là 7,2. Tính điểm trung bình của các học sinh mỗi lớp biết rằng số học sinh lớp 9A gấp rưỡi số học sinh lớp 9B và điểm trung bình của học sinh lớp 9B gấp rưỡi điểm trung bình của lớp 9A.

Đáp số: Điểm trung bình của các học sinh lớp 9A là …

Điểm trung bình của các học sinh lớp 9B là …

Xem đáp án » 22/09/2021 2,188

Câu 3:

Điền số thích hợp vào chỗ trống

Giải phương trình: $\sqrt{x + 1} + \sqrt[3]{x - 2} = 3$

Phương trình có nghiệm là x = …

Xem đáp án » 22/09/2021 1,069

Câu 4:

Lựa chọn đáp án đúng nhất

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 (\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y}) + 3 {(\frac{1}{x} - \frac{1}{2 y})}^{2} = 9 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{2 y} - 6 {(\frac{1}{x} - \frac{1}{2 y})}^{2} = - 3 \end{cases}$

Hệ phương trình có nghiệm là:

Xem đáp án » 22/09/2021 1,040

Câu 5:

Điền số thích hợp vào chỗ trống

Con đường từ bản A đến trạm xá xã gồm một đoạn lên dốc dài 3 km, đoạn nằm ngang 12 km, đoạn xuống dốc 6 km. Một cán bộ đi xe máy từ bản A đến trạm xá hết 1 giờ 7 phút. Sau đó cán bộ này đi từ trạm xá trở về bản hết 1 giờ 16 phút. Hãy tính vận tốc của xe máy lúc lên dốc và lúc xuống dốc biết rằng trên đoạn đường nằm ngang, xe máy đi với vận tốc 18 km/h và vận tốc khi lên dốc, khi xuống dốc trong lúc đi và lúc về là như nhau.

Đáp số: Vận tốc lúc lên dốc là … km/h và vận tốc lúc xuống dốc là …km/h

Xem đáp án » 22/09/2021 1,022

Câu 6:

Lựa chọn đáp án đúng nhất

Ba bạn học sinh vào cửa hàng mua đồ dùng học tập. Bạn thứ nhất mua 2 cái bút và 8 quyển vở hết 48000 đồng. Bạn thứ hai mua 5 quyển vở và 1 quyển sổ tay hết 22000 đồng. Bạn thứ ba mua 1 cái bút, 4 quyển vở và 2 quyển sổ tay hết 38000 đồng. Giá tiền mỗi cái bút, mỗi quyển vở và mỗi quyển sổ tay lần lượt là

Xem đáp án » 22/09/2021 498

Câu 7:

Điền số thích hợp vào chỗ trống

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x + 4 y = 10 \\ y - z = 11 \\ z + \frac{x}{2} = - 6 \end{cases}$

Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (…; …; …)

Xem đáp án » 22/09/2021 464

Câu 8:

Điền đáp án dạng (x; y) vào ô trống

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} |x + 1| + |y - 1| = 5 \\ |x + 1| = 4 y - 4 \end{cases}$

Đáp số: Hệ phương trình có hai nghiệm là: (…; …) và (…; …)

Xem đáp án » 22/09/2021 277

Câu 9:

Lựa chọn đáp án đúng nhất

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} - y^{2} + 2 y = 1 \\ {(x + y)}^{2} - 2 x - 2 y = 0 \end{cases}$ . Hệ phương trình có nghiệm là:

Xem đáp án » 22/09/2021 219

Xem thêm các câu hỏi khác »

LÝ THUYẾT

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng

ax + by = c (1)

trong đó a, b, c là các số đã biết ( $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$ )

2. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Trong mặt phẳng tọa độ, tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c (d).

- Nếu $a \neq 0$ và $b \neq 0$ thì (d) chính là đồ thị của hàm số bậc nhất $y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}$

3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình:

$(I) \{\begin{cases} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{cases}$

b) Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Nếu a, a', b, b', c, c' đều khác 0 thì:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$ ;

Hệ phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$ ;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$ .

4. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

Bước 2: Giải phương trình một ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

5. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với các số thích hợp (nếu cần) sao cho với một ẩn nào đó các hệ số bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng (trừ) đại số để được một hệ phương trình mới, trong đó một phương trình có hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm hệ phương trình.

6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 9583 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Căn bậc hai có đáp án

5 đề 8282 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1)

31 đề 7353 lượt thi Thi thử
Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1)

31 đề 6732 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Tỉ số lượng giác của góc nhọn có đáp án

5 đề 3921 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Căn bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai A^2 = |A| có đáp án

5 đề 3858 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 có đáp án

5 đề 3535 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 9: Bài toán thực tế Hình học có đáp án

18 đề 3489 lượt thi Thi thử
Đề thi Giữa kì 1 Toán lớp 9 có đáp án

6 đề 3198 lượt thi Thi thử
Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất)

10 đề 3192 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Câu hỏi:

Điền số thích hợp vào chỗ trống Cho hệ phương trình x+my=m+1mx+y=3m−1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho tích xy nhỏ nhất Đáp số: m = …

Trả lời:

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Điền số thích hợp vào chỗ trống Cho hệ phương trình mx+2y=m+12x+my=2m−1. Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là các số nguyên Đáp số: m∈...;...;...;...

Câu 2:

Câu 3:

Điền số thích hợp vào chỗ trống Giải phương trình: x+1+x−23=3 Phương trình có nghiệm là x = …

Điền số thích hợp vào chỗ trống

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + m y = m + 1 \\ m x + y = 3 m - 1 \end{cases}$ . Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho tích xy nhỏ nhất

Đáp số: m = …

Điền số thích hợp vào chỗ trống

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} m x + 2 y = m + 1 \\ 2 x + m y = 2 m - 1 \end{cases}$ .

Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là các số nguyên

Đáp số: $m \in \{...; ...; ...; ...\}$

Điền số thích hợp vào chỗ trống

Giải phương trình: $\sqrt{x + 1} + \sqrt[3]{x - 2} = 3$

Phương trình có nghiệm là x = …