Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f0=1 và 5∫01f'xfx2+125dx≤2∫01f'xfxdx. Tích phân ∫01fx3dx

Đáp án D 5∫01f'xfx2+125dx≤2∫01f'xfxdx⇔5∫01f'xfx2dx+15≤2∫01f'xfxdx Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: ⇒∫01f'xfxdx2≤∫01dx.∫01f'xfx2dx ⇒5∫01f'xfxdx2+15≤2∫01f'xfxdx⇔5∫01f'xfxdx−152≤0⇔∫01f'xfxdx=15 Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi: ∫01f'xfxdx=15f'xfx=k⇒k=15 ⇒∫f'xf2xdx=∫125dx=125x+C⇒fx33=125x+C⇔fx=325x+3C3f0=1⇒3C=1⇒fx=325x+13⇒∫01fx3dx=∫01325x+1dx=5350

Câu hỏi:

18/07/2024 214

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f (0) = 1$ và $5 \int_{0}^{1} [f' (x) {[f (x)]}^{2} + \frac{1}{25}] d x \leq 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x$ . Tích phân $\int_{0}^{1} {[f (x)]}^{3} d x$

A. $\frac{25}{33}$

B. $\frac{5}{4}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{53}{50}$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

$\begin{array}{l} 5 \int_{0}^{1} [f' (x) {[f (x)]}^{2} + \frac{1}{25}] d x \leq 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x \\ \Leftrightarrow 5 \int_{0}^{1} f' (x) {[f (x)]}^{2} d x + \frac{1}{5} \leq 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x \end{array}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $\Rightarrow {(\int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x)}^{2} \leq \int_{0}^{1} d x . \int_{0}^{1} f' (x) {[f (x)]}^{2} d x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 {(\int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x)}^{2} + \frac{1}{5} \leq 2 \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x \\ \Leftrightarrow 5 {(\int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x - \frac{1}{5})}^{2} \leq 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x = \frac{1}{5} \end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi: $\{\begin{matrix} \int_{0}^{1} \sqrt{f' (x)} f (x) d x = \frac{1}{5} \\ \sqrt{f' (x)} f (x) = k \end{matrix} \Rightarrow k = \frac{1}{5}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int f' (x) f^{2} (x) d x = \int \frac{1}{25} d x = \frac{1}{25} x + C \\ \Rightarrow \frac{{[f (x)]}^{3}}{3} = \frac{1}{25} x + C \Leftrightarrow f (x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25} x + 3 C} \\ f (0) = 1 \Rightarrow 3 C = 1 \Rightarrow f (x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25} x + 1} \Rightarrow \int_{0}^{1} {[f (x)]}^{3} d x = \int_{0}^{1} (\frac{3}{25} x + 1) d x = \frac{53}{50} \end{array}$

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , $y = x^{3}$ trục Ox , x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:

Xem đáp án » 15/08/2022 348

Câu 2:

Cho hàm số f liên tục trên R thỏa $f (x) + f (- x) = \sqrt{2 + 2 \cos 2 x}$ , với mọi x $\in$ R. Giá trị của tích phân $I = \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ là

Xem đáp án » 15/08/2022 272

Câu 3:

Tính tích phân $I = \int_{- 2}^{2} | x + 1 | d x$ .

Xem đáp án » 15/08/2022 233

Câu 4:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x + \frac{3}{x^{2}}$ là :

Xem đáp án » 15/08/2022 201

Câu 5:

Cho hàm số f liên tục trên R và số thực dương a. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng?

Xem đáp án » 15/08/2022 171

Câu 6:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{x}$ ; $y = 1$ và $x = 1$ là

Xem đáp án » 15/08/2022 170

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, điểm M nằm trên mặt phẳng $(O x y)$ , cách đều ba điểm $A (2, - 3, 1), B (0; 4; 3), C (- 3; 2; 2)$ có tọa độ là:

Xem đáp án » 15/08/2022 169

Câu 8:

Tìm $\int (\cos 6 x - \cos 4 x) d x$ là:

Xem đáp án » 15/08/2022 162

Câu 9:

F(x) là nguyên hàm của hàm số $y = \sin^{4} x . \cos x$ . F(x) là hàm số nào sau đây?

Xem đáp án » 15/08/2022 162

Câu 10:

Tính $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}}$

Xem đáp án » 15/08/2022 158

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho $A M = \sqrt{5}$ . Tọa độ của điểm M là

Xem đáp án » 15/08/2022 154

Câu 12:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho véctơ $\vec{a} = (1; m; 2); \vec{b} = (m + 1; 2; 1); \vec{c} = (0; m - 2; 2)$ . Giá trị của m để $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng là:

Xem đáp án » 15/08/2022 152

Câu 13:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ , cùng phương với vectơ $\vec{a}$ . Biết vectơ $\vec{b}$ tạo với tia Oy một góc nhọn và . Khi đó tổng bằng bao nhiêu?

Xem đáp án » 15/08/2022 152

Câu 14:

Cho $I = \int_{1}^{e^{\frac{π}{2}}} \frac{\cos (\ln x)}{x} d x I = \int_{1}^{e^{\frac{π}{2}}} \frac{\cos (\ln x)}{x} d x$ , ta tính được:

Xem đáp án » 15/08/2022 151

Câu 15:

Kết quả của $I = \int x e^{x} d x$ là:

Xem đáp án » 15/08/2022 149

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài

Đề thi liên quan

Xem thêm »

250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

10 đề 7976 lượt thi Thi thử
Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải

3 đề 7240 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao

11 đề 6261 lượt thi Thi thử
Bài tập tắc nghiệm ứng dụng đạo hàm - Toán 12 có đáp án

7 đề 5624 lượt thi Thi thử
150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (có đáp án)

6 đề 4258 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian NC (có đáp án)

9 đề 4126 lượt thi Thi thử
Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải

5 đề 3940 lượt thi Thi thử
70 câu trắc nghiệm Khối đa diện cơ bản

6 đề 3420 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Ôn tập Toán 12 Chương 1 có đáp án

3 đề 3362 lượt thi Thi thử
200 câu trắc nghiệm Phương pháp tọa độ trong không gian (có đáp án)

6 đề 3281 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM