Tính giá trị của biểu thức $\frac{{\log }_{a}25}{{\log }_a{\displaystyle \frac{1}{5}}}\left(0<a\ne 1\right)$.

I. Khái niệm về lôgarit

1. Định nghĩa

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

Ví dụ 1.

a) log₃ 27 = 3 vì 3³ = 27.

b) $\log {}_4\left(\frac{1}{16}\right)=-2$ vì $4^{-2}=\frac{1}{16}$.

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

2. Tính chất

Cho hai số dương a và b; a ≠  1.  Ta có các tính chất sau đây:

log_a1 = 0; log_aa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log {}_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Ví dụ 2.

$4^{-2{\log }_{4}3}={\left(4^{{\log }_{4}3}\right)}^{-2}={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}}^{-2}=\frac{1}{9}$

$\log {}_3\left(\frac{1}{27}\right)={\log }_3\left(3^{-3}\right)=-3$

II. Quy tắc tính logarit

1. Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a(b_1.b{}_2)={\log }_a{b}_1+{\log }_a{b}_2$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ 3.

${\log }_{2}12+{\log }_2\frac{1}{3}={\log }_2(12.\frac{1}{3})={\log }_{2}4=2$

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

${\log }_a(b_1.b{}_2\mathrm{\dots }.b_n)={\log }_a{b}_1+{\log }_{a}b{}_2+\mathrm{\dots }.+{\log }_a{b}_n$

( a; b₁; b₂; ..; b_n > 0;  a ≠ 1)

 2. Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b₁ ;b₂ với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_a{b}_2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$ ( a > 0; b > 0;  a ≠ 1)

– Ví dụ 4. $\log {}_5\mathrm{\hspace{0.17em}75}-{\log }_{5}3={\log }_5\frac{75}{3}={\log }_{5}25=2$

3. Logarit của một lũy thừa.

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

– Ví dụ 5.

$\begin{array}{c}\log {}_{7}3^6=\mathrm{\hspace{0.17em}6}{\log }_{7}3\{{\log }_3\sqrt[5]{4}=\frac{1}{5}{\log }_{3}4\end{array}$

III. Đổi cơ số.

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1 ;  c ≠ 1, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

– Đặc biệt:

 $\begin{array}{c}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}(b\ne 1)\{{\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b(\alpha \mathrm{ }\ne 0)\end{array}$

Ví dụ 6. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $5^{{\log }_{\frac{1}{125}}8}$

b) ${\log }_{2}3.{\log }_{3}4.\mathrm{\dots }.{\log }_{7}8$

Lời giải:

a) Ta có: ${\log }_{\frac{1}{125}}\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}8}={\log }_{5^{-3}}8=\frac{-1}{3}{\log }_5{2}^3$

$=\frac{-1}{3}\mathrm{.\hspace{0.17em}3}{\log }_{5}2=\mathrm{ }-{\log }_{5}2={\log }_5{2}^{-1}={\log }_5\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 5^{{\log }_{\frac{1}{125}}8}={\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}5}}^{{\log }_5\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}.$

b) Ta có: ${\log }_{2}3.{\log }_{3}4.\mathrm{\dots }.{\log }_{7}8$

$\begin{array}{c}={\log }_{2}3.\frac{{\log }_{2}4}{{\log }_{2}3}.\frac{{\log }_{2}5}{{\log }_{2}4}\mathrm{\dots }.\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}7}={\log }_{2}8=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}\end{array}$

IV. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên.

1. Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

2. Logarit tự nhiên

 – Logarit tự nhiên là logarit cơ số e.

log_eb được viết là lnb.