Dân số Việt Nam năm 2015 là 91,71 triệu người. Giả sử trong 5 năm tỉ lệ tăng dân số là không đổi. Hỏi tỉ lệ này có thể nhận giá trị tối đa là bao nhiêu để dân số Việt Nam năm 2020 không vượt quá 96,5 triệu người (làm tròn kết quả đến phần chục nghìn) ?

I. Bất phương trình mũ.

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b ( hoặc a^x < b; $a^x\ge b;a^x\le b$) với a > 0 và a ≠  1.

Ta xét bất phương trình a^x > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là $R$ vì a^x > 0 $\ge b;\forall x\in R$.

+ Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương $a^x>a^{{\log }_{a}b}$.

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

Với 0 <  a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

– Ví dụ 1.

a) 5^x  >  125 $\iff$x > log₅125 $\iff$ x >  3.

b) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}27}\iff x<{\log }_{\frac{1}{3}}27\iff x<-3$

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình a^x > b được cho trong bảng sau:

 2. Bất phương trình mũ đơn giản

– Ví dụ 2. Giải bất phương trình 3^{x + 2} < 27.

Lời giải:

Ta có: 27 = 3³

Vì cơ số 3 > 1 nên x + 2 < 3

$\iff$ x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

II. Bất phương trình logarit

1. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log_a x > b ( hoặc log_ax < 0;  ${\log }_{a}x\le 0;{\log }_{a}x\ge 0$) với a > 0; a ≠ 1.

Xét bất phương trình log_ax > b

+ Trường hợp a > 1 ta có: log_ax > b$\iff$x > a^b.

+ Trường hợp 0 < a < 1 ta có: log_ax > b$\iff$0 < x < a^b.

– Ví dụ 3.

a) log₂x > 7$\iff$x > 2⁷.

b) ${\log }_{\frac{2}{5}}x<\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}\iff x>{\left(\frac{2}{5}\right)}^3$

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình log_ax > b được cho trong bảng sau:

 2. Bất phương trình logarit đơn giản

– Ví dụ 4. Giải bất phương trình ${\log }_3(x^2+2x)$ > ${\log }_3(x+2)$.

Lời giải:

Điều kiện của bất phương trình:

$\{\begin{array}{c}{x}^2+2x>0\\ x+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}>\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}0}\end{array}\iff [\begin{array}{c}[\begin{array}{c}x>\mathrm{\hspace{0.17em}0}\\ x<-2\end{array}\\ x>-2\end{array}\iff x>\mathrm{\hspace{0.17em}0}$

Ta có: ${\log }_3(x^2+2x)>{\log }_3(x+2)$

Vì cơ số 3 > 1 nên:  x² + 2x > x + 2

$\iff$x² + x – 2 > 0 $\iff [\begin{array}{c}x>\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}\\ x<-2\end{array}$

Kết hợp điều kiện, vậy x > 1.