Cho hàm số $y=e^x+e^{-x}$. Tính y''(1)

1. Khái niệm lũy thừa

1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

aⁿ = a.a.a… a (n thừa số a)

Với a ≠ 0, ta có: a⁰ = 1 và $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Trong biểu thức a^m ; ta gọi a là cơ số, số nguyên m là số mũ.

– Chú ý:

0⁰ và 0^–n không có nghĩa.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ. Tính giá trị biểu thức:

$A={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}\mathrm{.\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}8}+{\mathrm{\hspace{0.17em}4}}^{-2}{\mathrm{.\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^4+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}.\frac{1}{27}$

Lời giải:

$A={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}\mathrm{.\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}8}+{\mathrm{\hspace{0.17em}4}}^{-2}{\mathrm{.\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2}}^4+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}.\frac{1}{27}$

$\begin{array}{c}A={\mathrm{\hspace{0.17em}2}}^3\mathrm{.\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}8}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2\mathrm{.\hspace{0.17em}16}+{\mathrm{\hspace{0.17em}3}}^3.\frac{1}{27}\\ A=\mathrm{\hspace{0.17em}8.8}+\frac{1}{16}.16+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}27}.\frac{1}{27}\end{array}$

A = 64 + 1 + 1 = 66.

1.2 Phương trình xⁿ = b.

Đồ thị của hàm số y = x^{2k + 1} có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x³ và đồ thị hàm số y = x^2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x⁴.

Từ đó, ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình xⁿ = b như sau:

a) Trường hợp n lẻ:

Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Trường hợp n chẵn:

Với b < 0, phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối nhau.

1.3 Căn bậc n

a) Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n $(n\ge 2)$. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu aⁿ  = b.

Ví dụ. Căn bậc ba của 27 là 3.

Căn bậc bốn của 256 là 4 và – 4.

– Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình xⁿ = b; ta có:

Với n lẻ và $b\in R$: Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là $\sqrt[n]{b}$.

Với n chẵn và :

+ b < 0 : không tồn tại căn bậc n của b.

+ b = 0: có một căn bậc n của b là số 0.

+ b > 0: có hai căn trái dấu; kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$; còn giá trị âm là ${\displaystyle -}{\displaystyle \sqrt[n]{b}}{\displaystyle .}$

b) Tính chất của căn bậc n

Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:

$\begin{array}{c}\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\\ \left\{\begin{array}{l}\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\ {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}\end{array}\right.\end{array}$

$\sqrt[n]{a^n}=\{\begin{array}{c}a; khi n le\\ \left|a\right|; khi n chan\end{array}$

$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$

Ví dụ. Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{-3}$;

b)  $\sqrt[4]{{(-5)}^4}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{-3}=\sqrt[3]{9.(-3)}=\sqrt[3]{-27}=-3$

b) $\sqrt[4]{{(-5)}^4}=|-5|=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}5}$.

1.4 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

– Cho số thực a dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$; trong đó $m\in Z;n\in N;n\ge 2$. Lũy thừa của a với số mũ r là số a^r xác định bởi:  $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$.

Ví dụ.

$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{l} {27}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}3}\\ 9^{\frac{3}{2}}=\sqrt{9^3}=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}27}\end{array}\right. .\end{array}$

1.5 Lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng, luôn có một dãy số hữu tỉ (r_n) có giới hạn là α và dãy số tương ứng $\left(a^{r_n}\right)$ có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (r_n).

– Ta gọi giới hạn của dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ là thừa số của a với số  mũ α, kí hiệu là a^α.

– Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: $1^{\alpha }=1;(\alpha \mathrm{ }\in R)$.

2. Tính chất lũy thừa với số mũ thực.

Cho a; b là những số thực dương, α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

$\begin{array}{c}{a}^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha \mathrm{ }+\beta }\\ a^{\alpha }{a}^{\beta }=a^{\alpha \mathrm{ }-\beta }\end{array}$

Nếu a > 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ khi và chỉ khi α > β.

Nếu a < 1 thì $a^{\alpha }>a^{\beta }$ khi và chỉ khi α < β.

Ví dụ. Rút gọn biểu thức:

Lời giải:

Với a > 0 ta có:

$A=\frac{a^{\sqrt{5}\mathrm{ }+\mathrm{\hspace{0.17em}2}}.a^{4-\sqrt{5}}}{{\left(a^{\sqrt{3}\mathrm{ }-1}\right)}^{\sqrt{3}\mathrm{ }+1}}=\frac{a^{\sqrt{5}\mathrm{ }+\mathrm{\hspace{0.17em}2}+\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}4}-\sqrt{5}}}{a^{(\sqrt{3}\mathrm{ }-1).(\sqrt{3}\mathrm{ }+1)}}=\frac{a^6}{a^2}=a^4$.

Ví dụ. So sánh các số ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{\sqrt{3}\mathrm{ }+\mathrm{\hspace{0.17em}1}}$ và ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{3}+\mathrm{\hspace{0.17em}1}>\mathrm{\hspace{0.17em}2}$ và $0<\frac{2}{3}<\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}1}$

Suy ra: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{\sqrt{3}\mathrm{ }+\mathrm{\hspace{0.17em}1}}$<  ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

3. Khái niệm hàm số lũy thừa

– Hàm số $y=x^{\alpha }$, với $\alpha \mathrm{ }\in R$, được gọi là hàm số lũy thừa.

Ví dụ. Các hàm số $y=x^{\sqrt{3}\mathrm{ }+1};y=\frac{1}{x^2};y=x^5;y=x^{\pi \mathrm{ }-3}$ là những hàm số lũy thừa.

– Chú ý:

Tập xác định của hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$ tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:

+ Với α nguyên dương, tập xác định là R.

+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0; tập xác định là R\{0}.

+ Với α không nguyên, tập xác định là $(0;+\mathrm{\infty })$.

4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

– Hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }(\alpha \mathrm{ }\in R)$ có đạo hàm với mọi x > 0 và ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\text{'}}=\alpha .x^{\alpha \mathrm{ }-1}$.

– Ví dụ.

a) ${\left(x^{\frac{2}{5}}\right)}^{\text{'}}=\frac{2}{5}.x^{\frac{-3}{5}}$

b) ${\left(x^{\sqrt{7}}\right)}^{\text{'}}=\sqrt{7}.x^{\sqrt{7}\mathrm{ }-1}$.

– Chú ý: Công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng:

${\left(u^{\alpha }\right)}^{\text{'}}=\alpha .u^{\alpha \mathrm{ }-1}.u^{\text{'}}$

– Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số $y={(2x{}^2+3x-2)}^{\frac{1}{3}}$.

Lời giải:

Ta có:

 $\begin{array}{c}{y}^{\text{'}}=\frac{1}{3}.{(2x{}^2+3x-2)}^{\frac{-2}{3}}.{(2x{}^2+3x-2)}^{\text{'}}=\frac{1}{3}.{(2x{}^2+3x-2)}^{\frac{-2}{3}}.(4x+3).\end{array}$

5. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x^α

Tập xác định của hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$ luôn chứa khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$  với $\alpha \mathrm{ }\in R$. Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số $y=x^{\alpha }$trên khoảng này (gọi là tập khảo sát).

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = x^α luôn đi qua điểm (1; 1).

– Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Ví dụ. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^{\frac{-2}{5}}$.

Lời giải:
1. Tập xác định: $D=(0;+\mathrm{\infty })$

2. Sự biến thiên.

Chiều biến thiên $y^{\text{'}}=\frac{-2}{5}{x}^{\frac{-7}{5}}$

Ta có: y’ < 0 trên khoảng $D=(0;+\mathrm{\infty })$ nên hàm số đã cho nghịch biến.

Tiệm cận: $\underset{x\to 0^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\to \mathrm{ }+\mathrm{\infty }}{lim}y=\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}0}$

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$ trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$.