Xét hàm số y = f(x) liên tục trên miền D = [a;b] có đồ thị là một đường cong C. Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x = a; x = b Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong S bằng ${\int }_a^b\sqrt{1+(f\text{'}{\left(x\right))}^2}dx$ Theo kết quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của hàm số f(x) = ln x và bị giới hạn bởi các đường thẳng $x = 1; x = \sqrt{3}$ là $m-\sqrt{m}+\ln \frac{1+\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$ với $m,n\in R$ thì giá trị của $m^2-mn+n^2$ là bao nhiêu?

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{x-1}{x+1}$  và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y = x^2$ và $x = y^2$ quay quanh trục Ox bằng bao nhiêu?

Cho tích phân ${\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{3}}^0\cos 2x.\cos 4x dx = a+b\sqrt{3}$, trong đó a,b là các hằng số hữu tỷ. Tính $e^a + {\log }_2\left|b\right|$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn $f\left(\tan x\right) = {\cos }^{4}x$ Tính $I = {\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$

Cho hai hàm số $F\left(x\right) = (x^2+ax+b)e^{-x}$ và $f\left(x\right) = (-x^2+3x+6)e^{-x}$. Tìm a và b để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

Parabol $y = \frac{x^2}{2}$ chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng $2\sqrt{2}$ thành hai phần có diện tích $S_1$ và $S_2$, trong đó $S_1<S_2$. Tìm tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$

Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0;a] thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right).f(a-x) = 1\\ f\left(x\right)>0; \forall x\in [0;a]\end{array}\right.$ và ${\int }_0^a\frac{dx}{1+f\left(x\right)} = \frac{ba}{c}$, trong đó b, c là hai số nguyên dương và b/c là phân số tối giản. Khi đó b+c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) $y = x^2 - 4x + 5$ và các tiếp tuyến với (P) tại A(1;2); B(4;5)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \sqrt{x}\ln x$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 2; {\int }_0^{3}f\left(x\right)dx = 6$. Tính $I = {\int }_{-1}^{1}f\left(\left|2x-1\right|\right)dx$

Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) $y= x^2$ và đường thẳng y= 2x quay xung quanh trục Ox

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y= e^{x-1}$ cắt trục tọa độ và phần đường thẳng y = 2-x  với $x\ge 1$ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$, trục hoành và đường thẳng x=e. Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

Biết luôn có hai số a, b để $F\left(x\right) = \frac{ax+b}{x+4}(4a-b\ne 0)$ là nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn $2f^2\left(x\right) = \left(F\right(x)-1)f\text{'}\left(x\right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

Giả sử a,b,c là các số nguyên thỏa mãn ${\int }_0^4\frac{2x^2+4x+1}{\sqrt{2x+1}}dx = \frac{1}{2}{\int }_1^3(a{u}^4+b{u}^2+c)du$, trong đó $u = \sqrt{2x+1}$. Tính giá trị S=a+b+c