Cho hàm số $g\left(x\right) = {\int }_{\sqrt{x}}^{x^2}\sqrt{t}\sin tdt$ xác định với mọi x>0. Tính g'(x)

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho elip (E) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$ quay quanh trục Ox.

Giả sử F(x) là một họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{\sin x}{x}$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$. Tính tích phân $I = {\int }_1^3\frac{\sin 2x}{x}dx$

Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc $v\text{'}\left(t\right) = \frac{3}{t+1}$ (m/s²). Vận tốc ban đầu của vật là 6 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và thỏa mãn điều kiện f(x) = f(a+b-x)

Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động nhanh dần đều, 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6 m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng $h\text{'}\left(t\right) = \frac{\sqrt[3]{t+8}}{5}$ và lúc đầu bồn cầu không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $\left(C_1\right) x+4y - y^2=0$, $\left(C_2\right): x-2y+y^2=0$

Cho hàm số $g\left(x\right) = {\int }_{2x}^{3x}\frac{t^2-1}{t^2+1}dt$. Tính đạo hàm g'(x)

Tính tích hai nghiệm của phương trình ${\int }_{\frac{1}{e}}^x\frac{1+\ln t}{t}dt =\frac{1}{2}$

Từ đẳng thức $\frac{1}{t^5}+4{\cos }^{3}u -2{\sin }^{2}v + C = \int f\left(t\right)dt$ có tìm được hàm số y = f(x) hay không ?

Trong mặt phẳng Oxy, cho prabol (P) $y = x^2$. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = {(x+1)}^2, x = \sin \mathrm{\pi }y$

Tính giá trị của a để đẳng thức ${\int }_0^a\cos (x+a^2)dx = \sin a$ xảy ra.

Tìm tập S tất cả các số nguyên dương n thỏa điều kiện ${\int }_1^e\ln \frac{n}{x}dx <e-2$