Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C’D’. Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP 

Gọi V là thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, V₁ là thể tích của khối tứ diện A’ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60°$. Tính thể tích của khối chóp S. ABCD

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và BC. P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho $\frac{AP}{AB}=\frac{1}{3}$. Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng (MNP). Tính $\frac{SQ}{SC}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC = $\sqrt{5}$. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài canh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thuộc các canh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt AM = x; AN = y. Tìm x; y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a,$SA\perp \left(ABCD\right)$ ,SC tạovới mặt đáy một góc 45°. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng $\alpha \sqrt{2}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, $\widehat{BAC} =30°$. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc hợp bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 60°. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60⁰. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB, N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN = 2ND. Tính tỉ số thể tích $\frac{V_{ACMN}}{V_{SABCD}}$

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với  và $AB=\alpha \sqrt{2 }; BC=\alpha$và $SA=SB=SC=SD=2\alpha$. Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC, H là hình chiếu vuông góc của K trên SA. Tính cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (BKH).

Cho hình chóp S.ABC có các góc tại đỉnh S cùng bằng 60⁰, SA = a, SB = 2a, SC = 3a. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)

Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Hỏi độ dài ngắn nhất l của cây cầu gần nhất với so nào dưới đây biết.

- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O;

- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đường thẳng OA ;

- Độ dài đoạn OA và OB lần lượt là 40m và 20m;

- Tâm I của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần lượt là 40m và 30m.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. $AB=BC=\alpha \sqrt{2}$, góc $\widehat{SAB}=\widehat{SCB} =90°$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\alpha \sqrt{2}$. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là