Cho tứ diện S.ABC, trên cạnh SA và SB lấy điểm M và N sao cho thỏa tỉ lệ $\frac{SM}{AM}=\frac{1}{2}$;$\frac{SN}{NB}=2$. Mặt phẳng (P) đi qua MN và song song với SC chia tứ diện thành hai khối. Một khối chứa điểm S và có thể tích là V₁, khối còn lại có thể tích V₂. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ nhận giá trị thuộc khoảng nào dưới đây.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA $\perp$(ABC), SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy, $SA=\alpha \sqrt{6}$ Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) là

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, AC’ tạo với mặt bên (BCC’B’) một góc 30$°$. Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Cho hình chóp S.ABCD  có đáy ABCD  là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy (ABCD)  và SA=2a Tính cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD) 

Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và AD bằng 60$°$. Tính thể tích khối chóp SABCD bằng

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh $\alpha$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60⁰. Thể tích của khối chóp SABC bằng 

Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và các mặt bên của hình chóp đều bằng a (a thay đổi). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích của S.ABCD 

Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, $\widehat{ACB}=60°$, B'C tạo với mặt phẳng AA'CC' một góc $30°$. Thể tích của khối lăng trụ ABCA'B'C' bằng 

Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2$\alpha$. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm H của BC, góc giữa AA’ và (ABC) bằng 45⁰. Thể tích của khối lăng trụ ABCA’B’C’ bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên BCC'B' là hình vuông cạnh $2\alpha$. Thể tích của khối lăng trụ ABCA'B'C' bằng

Cho hình chóp S.ABC có AC=SC=a, SA=$\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Biết thể tích của khối chóp S.ABC bằng $\frac{a^3\sqrt{3}}{16}$. Khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng (SAC) bằng

Một hình vuông ABCD có cạnh AB = x, diện tích S₁. Nối bốn trung điểm A₁, B₁, C₁, D₁ theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai A₁B₁C₁D₁ có diện tích S₂. Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A₂B₂C₂D₂ có diện tích S₃ và cứ tiếp tục như thế ta được diện tích thứ S₄, S₅,…Tìm x để $S_1+S_2+S_3+...+S_{100}=\frac{2^{100}-1}{2^{99}}$

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng $\alpha$. Cô sin của góc tạo bởi 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Thể tích khối tứ diện AB’C’D’ bằng